Você já deve ter ouvido muitas pessoas falar sobre "dimensões" e até mesmo coisas ficciosas e mal entendidas sobre tais como "outra dimensão", "dimensão paralela", "Quarta Dimensão". Bem, mas o que são elas? O que é uma dimensão? Esse simples estudo, dará uma introdução ao campo das funções de várias variáveis, as dimensões.
O que é dimensão?
Dimensão é uma terminologia usada para indicar um "grau" de uma função e seu gráfico. A princípio, o minimo de dimensão que pode existir é 1, e o máximo é infinito. Portanto: nº de dimensões ∈ [1, ∞[. De modo que se relaciona ao número componentes (variáveis) necessários para tal.
1D - Uma Dimensão
Axiomáticamente dizendo, 1 dimensão, apenas existe numa idéia de limit, quando uma função não possui uma "altura de imagem". É dificil entender esse conceito, mas imagine o caso de uma reta, no qual ela é o próprio eixo, ou um ponto; mas que não possui altura, não possui imagem. E a idéia linear da coisa.
Há muitas aplicações que se envolvem essa idéia "linear" de uma dimensão. Como na física, quando se fala sobre dilatação de sólidos. Há o caso linear (1d), superficial (2d) e espacial (3d); correspondendo a se expandir linearmente, em área e em volume, respectivamente.
Mas fazer o gráfico de algo em 1D não é possível, apenas se faz um esboço para ilustrar, como uma linha, ou o eixo x, sem fazer o eixo y. Como função, não é possível fazer - desenhar seu gráfico - pois por definição uma função tem um dominio e uma imagem (duas dimensões).
2D - Duas Dimensões
Sem dúvidas, essa é a dimensão mais conhecida. Pois tudo o que vemos é em 2D, nossos olhos captam as imagens em 2D. 2D já pode-se dizer como um sistema de coordenadas, duas referências entre dois angulos, dois pontos. Na matemática, como padrão de linguagem, definimos usualmente como o "eixo x" e o "eixo y". Sendo x o dominio e y a imagem desse dominio, ou seja, o resultado da função em x.
Quando tiramos uma foto, ela nos dá uma representação perfeita de algo em 2 dimensões. Em duas dimensões, podemos dizer que temos uma superficie, uma área; quanto as coisas práticas. Por exemplo, uma folha de papel (se não levarmos em conta sua espessura), ela tem uma largura e altura, duas dimensões, podemos medir sua área.
Já numa função, a grosso modo dizendo, podemos encontrar situações em que o gráfico da função não se tenha uma area e uma superficie. Mas a idéia é que com os dois eixos - x e y - podemos formar uma superficie.
Tudo o que vemos está em 2D. No monitor do seu computador, a imagem que você vê está em 2D. Até mesmo os recursos em três dimensões, como jogos, programos como AutoCAD, a imagem que ele te mostra é em 2D, o que aparece no monitor é 2D, pois assim são os monitores de hoje; apenas quando houver hologramas tais forneceram imagens em mais dimensões; mas de todo o jeito, tudo o que os nossos olhos veem é em 2D, na verdade, nossos olhos, funcionam como uma filmadora, uma máquina digital. Ele retirar várias fotos daquilo que vê só que tão rapidamente, que acaba funcionando como um filme, pois são muitos quadros em menos de um segundo.
Numa função, é fácil definir. Pois se trata de uma função simples, com apenas uma variável. A famosa f(x). Quando temos um dominio em R (conjunto dos nº reais), também expresso como em Rn, no caso, R1 (n = 1). Esse n, se refere ao número de variáveis.
Agora, entenda esse conceito simples, contudo bem abstrato:
"Uma função de uma variável, pode-se dizer que é uma função de uma dimensão, mas o seu gráfico - sua imagem - é de duas dimensões."
No caso, apenas há a variável x, portanto, uma só variável. Ou seja, n = 1. Ou seja, 1 dimensão.Mas o seu gráfico já é outra história. Por exemplo, faça o gráfico de f(x) = squad(x² - 1) [squad, refere-se a "raíz quadrada do que está em parenteses"]. Você naturalmente obterá duas dimensões - x e y - sendo o x o dominio, e o y a imagem - f(x).3D - Três Dimensões
Essa também é muito popular, virou até moda. "Placas Aceleradoras 3D", "Recursos Audiovisuais em 3D", "Programas em 3D".
O que acontece, mas que não pode acontecer, é as pessoas confundir a "ordem", ou melhor, A NATUREZA da função ou dimensão referida.
Vimos que em 2D, temos dois eixos referência para algo, podendo formar uma superficie, uma área. O que acontece em 3D, é que adicionamos um outro eixo, na matemática, como padrão, chamamos de "eixo z". Assim dando uma nova dimensão a coisa, formando o que chamamos de "espaço".
Na realidade, tudo o que há, que existe - tirando a energia - está em 3D, tem três dimensões espaciais. O computador está em 3D, o sofá é um objeto em 3D. É a diferença entre o que sai na foto e o que na realidade é. Contudo, vale a pena lembrar, que vemos tudo em 2D. Aquilo que é em 3D, nossos olhos tiram uma foto daquilo, de modo que fique em 2D.
Numa função, quando o gráfico está em 3D, a função na verdade é em 2D, ou seja, tem 2 variáveis. Ou seja, representamos por: f(x, y). E o seu dominio, representamos por R2 (n = 2). Há duas variáveis, portanto duas dimensões. Mas o GRÁFICO, a IMAGEM, é em 3D.
É fácil perceber que todas as coisas estão em 3 dimensões espaciais, mas que apenas observamos tudo em 2D. Tanto é que podemos fazer quadros, tirar fotos, desenhar, de modo que represente exatemente o que vemos, isso numa superficie de papel (em 2D).
Contudo, foi um grande avanço na ciência, quando os matemáticos conseguiram formalizar, estruturar suscintamente a terceira dimensão. Pois isso pode ser usado na Computação. Passaram a existir Placas de Vídeo 3D, modeladores 3D. Isso facilitou muito muitas coisas, e possibilitou ao homem fazer muitas coisas com fins vizuais.
Com apenas o 2D, os programadores e designers, apenas podiam trabalhar com a idéia de "foto". Ou seja, tinham que fazer tudo em perspectiva, para representar o 3D em 2D (uma foto). Num jogo por exemplo, ele tinha que fazer várias fotos - imagens - de algo, como tal seria por vários angulos; e ajuntar tudo, para que depois, dessa a impressão de que aquilo era uma foto de algo em 3D. Isso certamente dava um trabalhão. Os jogos mais antigos, se podia ver, uma bidimensionalidade muito forte, muitas vezes, só podendo ver os personagens por um angulo, quando ele estivessem de lado, ou de frente, ou por cima, e muitas vezes se parecia algo bem estátivo. Já se o programador fosse fazer algo mais realista, os gráficos ficariam melhor, contudo o jogo ficaria mais "pesado", consumia mais memória, e certamente dava muito mais trabalho para fazer.
Então os matemáticos conseguiram formular o 3D, logo os programadores e engenheiros passaram isso para algoritmos de modo que desenvolveram "Modeladores 3D". Os computadores passaram a saber que a terceira dimensão existe. Permitindo que os programadores e designers, não precisassem mais trabalhar como se tudo fosse uma foto; mas modelando a coisa em 3D. Como se estivessem fazendo uma escultura com as próprias mãos na realidade; só que isso seria dentro do virtual. Então, não se criava mais "fotos", "imagens" dos objetos em perspectiva para representar o 3D em 2D. Mas sim se criava o "objeto", em 3D. E então, o software permite você navegar naquele "mundo, espaço virtual" como se fossem seus olhos. E nisso entram as "Placas 3D", que é quem dá essa capacidade de processamento de objetos em 3D.
Hoje os jogos de computadores, são feitos com muito mais facilidade e exito. Tanto é que a maior preocupação hoje é se preender aos "detalhes gráficos" para ficar o mais realista possível; e também aos detalhes "físico". Pois, ele faz o objeto dos personagens, o objeto das armas, dos cenários... e manda o software rodar. Ou seja, é como se você pegasse alguns bonecos e começasse a brincar no seu quintal. Não precisa ficar desenhando e tirando fotos por vários angulos. Apenas se programa o quintal, faz os bonecos, e então brique com eles. Isso até mesmo permitil a industria cinematográfica fazer filmes 100% em imagem realista num ambiente totalmente virtual.
Mas lembre, o programa é em 3D, mas você vê em 2D.
4D - Quarta dimensões e as outras
Pode algo ter mais de 3 dimensões? Claro que pode. Pode perfeitamente. Principalmente, quando se trata de função.
Como já disse, uma função pode ter infinitas variáveis. Uma função de 2 dimensões, como já vimos é f(x, y), no qual o gráfico está em 3D. Já uma função de 3D é f(x, y, z), o gráfico - teóricamente - estaria em 4D. E assim por diante, uma função pode ter, infinitas dimensões: f(x, y, z, ...).
Aqui mora um problema super grave. Pois entramos num campo, meio que da "fé" se assim podemos dizer. Pois é o campo daquilo que "o olho não vê". É um dos maiores exitos da Matemática. Pois permite ao homem estudar coisas e conceitos, que não podemos ver, mas que existem. Já lhe digo algo que você não pode confundir: "ESPAÇO É ESPAÇO, e APENAS 3 DIMENSÕES o formam".
Posso até colocar mais variáveis, outros eixos no espaço. Mas tais, acabam sendo apenas de suporte. Mas todas estão contidas no espaço formado pelos eixos x, y e z. Por exemplo. Posso fazer um programa de computador, no qual modela uma pessoa em 3D. E então, coloco uma dimensão, ou um eixo, uma função, para o braço, outra para a perna, outra para a face, outra para o ombro etc. São várias dimensões e variáveis. Contudo, espacialmente, todas elas estão dentro do Espaço, dos eixos x, y e z.
Espacialmente falando, naquilo que podemos ver, desenhar... Apenas o podemos, em perspectiva de 3 eixos. Três dimensões. Isso deve ficar BEM CLARO, nessa natureza da Dimensão. Não tem como você observar uma bola de futebol em 4 dimensões espaciais; aliás, para começar, apenas vemos em 2D. Nem muito menos ir para um lugar, onde o espaço não apenas tem 3D mas mais.
ESPAÇO é o nome atribuido para algo em 3D. O sistema de coordenadas (x, y, z). E ponto. Não vai confundir com ficções ficciosas.
O ENIGMA
O que na verdade acontece, é que como disse, uma função pode ter infinitas dimensões. Ou seja, ter milhões de variáveis se quiser. Se você for cursar Cálculo, perceberá que trabalhar com 3 variáveis já é complicado. E mais. Essa função, pode ser composta, de modo que tais variáveis possam ser outras funções, e até mesmo funções de várias variáveis; portanto, pode haver 10mil dimensões, dentro de uma função de 3 dimensões.
Por exemplo, o Eistein, descreveu a Teoria da Relatividade, a grosso modo, uma função, com 3 dimensões: (x, y, z). Só que sendo tais: (tempo, espaço, matéria); que tem por fim ou natureza, descrever a energia, tragetória e posição. Podemos fazer uma função financeira, para o preço de um produto que também leve em conta várias variáveis Preço(mão-de-obra, transporte, seguradora, taxas, tributos, lucro, limpeza, manutenção), ou seja, uma f(x, y, z, w, u, v, s, t), portanto, 8 variáveis... para no fim chegar no "preço do produto", de modo que tal leve em conta todas essas variáveis.
Na física, engenharia, que buscam descrever e manipular os diversos mecanismos fisicos que há no Univeso; muitas vezes precisam usar funções com várias variáveis. Só que acontece, que como já disse, trabalhar com uma função de 3 variáveis (3-dimensões) ja é muito dificil e trabalhoso. Então, muitas vezes, preferem, decompor essas ENORMES funções, em outras pequenas e mais fáceis de trabalhar. Por exemplo, imagine um carro. Quantas coisas estão variando, que está influenciando nele? Há o vento, a temperatura, a gravidade, o atrito com o asfalto, o peso, a potencia do motor, o consumo de energia... São um monte de variáveis. Trabalhar com todas elas numa só função é loucura! Portanto, é mais fácil, "uma função para isso outra para aquilo..." e de algum modo, no final, uma outra, ou uma lógica, que viza ajuntar o resultado de todas.
Um engenheiro para construir um prédio então. Quantas variáveis que ele não tem que pensar? Como a resistencia do material, o peso, a elasticidade, o vento, vibrações, impactos, durabilidade. Portanto, há muita utilidade funções de variáveis variáveis. Na verdade, o que muito acontece, é os programadores e matemáticos desenvolverem softwares os quais ajudem a trabalhar com essas funções tão grandes e complicadas; hoje, não só há programas que modelam objetos em 3D, como fazem "simulações físicas" com tais. Existem até mesmo Scanners 3D. Focê scannea o seu mouse, e no programa você já tem o seu mouse como objeto em 3D, sem ter que ficar desenhando.
Por exemplo, veja essa noticia da BBC: "Matemáticos decifram enigma de 248 dimensões".
Portanto, quando você ouvir coisas do tipo "Outra dimensão", "dimensão paralela"... e coisas que parecem mais ficção. Cuidado para não confudir as coisas. Nem sempre estão falando dessa natureza quanto "a forma, ao que podemos ver, o espaço"; pois esse é o conceito que se popularizou de dimensão, devido aos softwares em 3D. Certamente, pode estar tratando de outras dimenões, outros tipos, que não seja o espaço, o sistema básico dos eixos x, y e z, ou uma representação gráfica.
Por exemplo, algo interessante, é que há muitos cientistas, inclusive Eistein, acreditam que podem fazer uma única equação que retrate simplesmente TUDO do Universo; o que ele chamava de "A Equação da Vida", há até documentários sobre isso, se não me engano um no The History Channel "A Sinfonia Inacabada". A qual pode descrever tudo sobre a vida, sobre os fenomenos astronomicos, fisicos e em nível atomico; tudo numa única fórmula, equação. E até mesmo, é possivel, simplificar tal, numa "única variável". Pois é possível isolar variáveis, por mais que muitas vezes seja complicado.
Também, pode-se dizer, que o Universo em que vivemos e que dizemos conhecer, são regidos por várias dimensões (variáveis), como a Força Eletromagnética, a Gravitacional, x, y... Há teorias que apontam que existem "multi-universos", existem outros universos. Os quais podem ter outras dimensões (variáveis), possivelmente diferente das que mal conhecemos; isso quer dizer, "outras leis físicas".
Portanto, quando você ouvir alguem falar ou noticias sobre "dimensões"; antes de ficar imaginando coisas malucas e ficciosas. Lembre-se: "Depende". - Depende do quê? - Depende do referencial. Pois já até ouvir pessoas falando que "descobriram a quarta dimensão do espaço". O que para começar é uma incoerência, pois Espaço significa as 3 dimensões espaciais, o sistema de coordenadas (x, y, z).
Como pode ver, esse estudo nem vem mostrar uma dimensão, ou trabalhar com dimensão. Mas apenas trazer a idéia do que é dimensão e espaço. Quem sabe outro dia, trabalharei com funções de 2 ou mais variáveis.
Recomendo:
http://cuca.mat.puc-rio.br/~tomlew/tomlew_br.php
http://www2.brazcubas.br/professores1/arquivos/14_luizhenu/MatemaC/Notas-Aulas02-Canesin.pdf
Uma integral complicada de se calcular... Uma integral dupla, contudo, o problema em si, é encontrar a primitiva destacada. Tentei várias e várias coisas, mas não tive exito em encontrar a primitiva. O único modo que consegui, foi usar a própria "arcsenhx", pois sua derivada é 1/sqrt(1+x²). 
