Carbono 14: Matematicamente falando

Em Cálculo 2, ao estudar as Equações Diferenciais Ordinárias (EDO's), o professor mostrou alguns exemplos de aplicação de tal, entre eles estava um interesse: "o famoso Carbono 14". Tentarei explicar como é, e no final, as observações (que são as mais importantes).

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Bem, a grosso modo é uma função (a massa em função do tempo). Ou seja, num certo tempo temos uma certa massa, e num outro tempo, uma outra massa.

Então, fazendo uma análise, da questão da meia-vida, ou seja: Quando se teria metade da massa? Percebe-se que aquilo que você está observando está perdendo massa conforme o tempo. Ou seja, é uma velocidade. Não de "metros por segundo (m/s)" ou "quilometros por hora(km/h)", mas "massa por tempo", podendo ser quilogramas por hora (kg/h).

Ok?

Bem, se é uma velocidade, então é uma derivada. (ai entra alguns conhecimentos essenciais de cálculo). E se temos uma proporção constante (a da meia-vida). Então, podemos descrever uma constante (k), do seguinte modo:

0 > k= m'/m
[m' --> é m derivado uma vez ]

e que: m'(t) <>m(t) = mo.e^(tk)

LEGENDA ....................................................................

m(t) --> a massa em função do tempo
mo --> massa inicial
e --> exponencial (um valor tipo o "pi", que aparece em tudo qualquer lugar na matemática)
^ --> como não tem o recurso de sobrescrito no blogger, uso esse sinal para indicar que o que vem a seguir é um expoente ou potência.
T --> tempo de meia-vida (ou seja quando a massa cai pela metade).
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Com isso, dá para formular mais equações, como o tempo de meia-vida:
m(t + T) = m(t)/2

e como:
m(t) = mo.e^(kt) [isto vem das EDO's]
para meia-vida, então, temos:
.
m(t + T) = mo.e^(k(t+T))
.

agora, é só trabalhar um pouco na equação:

=> (então) m(t + T) =

= mo.e^(k(t+T))

= mo.e^(kt).e^(kT)

= m(t).e^(kT) = m(t)/2

=> e^(kT) = 1/2

=> kT = ln(1/2)

=> kT = ln(2)^(-1)

=> kT = -ln2

=> k = -ln2/T

Bem, ln é o famoso "logaritimo natural". Que é a mesma coisa do famoso LOG, quando a sua base é o e. Ou seja, ln de 2 (ln2) é o mesmo que dizer log de 2 na base e. Porem, de certa forma, o log não é muito usado no calculo (praticamente nada), mas usa-se muito o ln pois tal possui diversas propriedades usais em quase tudo - como o e, aliás, onde tem um e certamente terá um ln (em muitos casos).

Ok, já que encontramos o valor de k. Agora vamos substituir na equação m(t)=mo.e^(kt)

então, temos: m(t) = mo.e^(t.-ln2/T)

Agora, basta trabalhar um pouco a fórmula:

m(t) = mo.(e^ln2)^(-t/T)

[Bem, e^ln2 é um número conhecido, é o famoso 2. Pois, devido as propriedades que não vou provar aqui, temos que, qualquer número "a", pode ser escrito do seguinte modo:

a = e^lna]

m(t) = mo.2^(-t/T)

m(t) = mo/2^(t/T)

Bem, e com isso, terminamos. Encontramos a bendita fórmula que descreve a meia-vida.

...........

Ok. E como isso é relacionado com o carbono 14?

Bem, consideram o Carbono 14 como um dos isótopos mais instáveis e que possui maior meia-vida, dizem que a sua meia-vida é de 5.730 anos.

Como é que eles chegaram a este número?

Certamente ninguém ficou observando uma amostra de carbono 14 numa balança por quase 6 mil anos para perceber que a sua massa caia pela metade ao se passar 5.730 anos. O que fizeram foi o seguinte: pegaram uma minuscula amostra, (pequena mesma), e não uma pedra de 10kg. E então, esperaram ela perder um pouco de massa. E perceberam que após alguns dias, ou semanas, meses, anos (não sei quanto tempo usaram), perceberam que a sua massa caiu um pouco. Então, fizeram uma "regra de três" [é mais uma figura de linguagem, atente as aspas], e chegaram nisso, que então, o carbono 14 deveria perder metade de sua massa após 5.730 anos.

Bem, e a partir dessa teoria [é teoria mesmo], passaram a usar o carbono 14 para analisar o tempo de vida das coisas, de fósseis etc. E com isso, chegaram em números com muitos zeros e casas. E foi um dos métodos pioneiros da datação cientifica.

......................

Mas, todavia, porém, portando...

É uma loucura usar este método para a meia-vida, porque é impossível. Como meu professor disse: "É algo muito idealizado. [num sentido de utopia mesmo]"

Por que?

Pois, à rigorosa matemáticamente falando, é certo, como mostramos, a fórmula está correta, vale. Porém, para usá-la na prática, como realmente querem usar, não vale. Talvez funcione para coisas muito próximas. Por exemplo, ver a idade de algumas coisas que em alguns anos perdem metade da massa etc. Mas quanto mais tempo passa, mais torna-se um absurdo. Porque é preciso de um sistema rigoroso, controlado e praticamente constante, sem interferências, e condições perfeitas.

Para ter idéia, este mesmo método da EDO é usado para se conseguir muita coisa, como a análise de taxa de crescimento populacional de uma certa espécie. Porém, na vida prática teria que ser algo assim:

"Bem, amigos, hoje vamos analisar a taxa de crescimento das formigas-vermelhas.

mas, para isso, temos que levar em conta alguns fatores:

- ninguém tem problema de fome e de saúde;

- não há predadores, como um tamanduá que pode dizimar um formigueiro em poucas horas;

- elas nunca brigariam entre si, nem com outros formigueiros;

- elas nunca perderiam o caminho de casa;

- elas não sofrem acidentes, como chuva que as afogam, ou animais que as pisoteiem, entre outros;

- enfim, todas as condições, tem que favorecer perfeitamente a elas, para que nada saia do equilibrio.

Então, com isso, podemos usar aquela fórmula que os matemáticos fizeram."

E é assim que tem que ser para poder usar. Um outro exemplo, é para os famosos "juros compostos", com tal, consegue a rigor saber quanto será o dinheiro depois de tantos meses etc. Porém, para isso, é preciso de um controle tão rigoroso que se percebe que os bancos cobram taxas pesadas, e custa "no bolso do povo" manter essa "equação" em perfeito harmonia na vida prática.

Quanto a meia-vida é a mesma coisa, as condições tem que ser perfeitas, constantes e nada que possa influenciar, muito menos algo que possa acelerar o processo. E por isso o professor disse: "é algo muito idealizador." [num sentido que quis dizer, isso é bem utópico, fico induzido a dizer: impossível]

Bem, o método do carbono 14, muitos cientistas não dão muito crédito. Existem outros métodos que usam por ai. Porém, em todas, de certa forma tem que se adimitir alguns paradigmas, especialmente do naturalismo fisolófico, mas algo que se deve admitir para se estudar o passado é: "As condições do passado desconhecido ,precisam, necessitam ser tal, que não interfiram nessas equações, e de tal modo, que tais métodos funcionariam tão bem como nos dias de hoje." Porém, ninguém hoje já viveu em tal passado [humanamente falando], nem muito menos temos registros escritos, provas (provas livre de interpretação, do tipo: Uma pedra escrito o 'ano'; algo que indique uma data livre de qualquer paradigma ) etc. que nos dê informações sobre tal passado (digo de milhares, milhões de anos). E o pior de tudo, não podemos viver em tal passado e analisá-lo num laboratório, observando e levantando dados dessa observação. Por fim, é uma questão de fé - "o passado foi assim, vamos estudá-lo a partir dessas convicções".

"Se uma datação radiocarbônica apoia nossas teorias, nós a colocamos no texto; se ela não contradiz frontalmente, colocâ-mo-la no rodapé e, se for discrepante, simplesmente não a mencionamos." - Säve Söderbergh, arqueólogo

Nota: Entre acreditar em Deus ou nesses cientistas, eu fico com Deus. Entre ter fé na Bíblia que é cheia de incríveis verdades e respostas para diversas coisas da vida, a qual já mudou, transformou a vida de muitos homens pelos quais não se daria um único centavo, ou ter fé que essas fórmulas funcionariam perfeitamente para toda a eternidade passada, eu fico em ter fé na Bíblia. Creio no relato da criação apresentada por homens inspirados por Deus na Bíblia. E de acordo com ela, muitas destas datações dadas pelos cientistas estão equivocadas. E mais, a Bíblia aponta que o passado AS CONDIÇÕES eram bruscamente diferentes das de hoje.

NASA: Descoberta põe em cheque teoria sobre matéria

Os telescópios de raio-x do observatório espacial Chandra descobriram uma zona livre de galáxias que coloca em dúvida a teoria atual sobre a matéria escura, informou nesta quinta-feira o Centro Marshal de Vôos Espaciais da Nasa.

Na astronomia, a matéria escura é uma forma de matéria que interage com outros corpos celestes gravitacionalmente. Invisível, sua presença é apenas deduzida a partir dos efeitos gravitacionais sobre a matéria visível, como estrelas e galáxias. A matéria escura correspondente a aproximadamente 90% de toda a matéria do universo.

A teoria diz que a misteriosa matéria escura e as galáxias devem estar sempre juntas, inclusive no caso das explosões cósmicas das estrelas. No caso desta descoberta da Nasa, a matéria escura foi detectada em uma zona do universo onde não há galáxias.

Fonte: Terra

O que é importante observer sobre essa questão?
O mais importante, certamente é a questão quanto a quebra de paradigmas que ocorre naturalmente na ciência com o decorrer do tempo. Exemplos é que não faltam, como o geocentrismo dos gregos; até mesmo Einstein não escapa ao afirmar que a velocidade da luz é constante.
Há muitas coisas na ciência que vão mudando, adaptanto ou desenvolvendo conforme surgem as descobertas. Algumas, são reformuladoras. Como foi a teoria do Einstein, onde toda a física teve que passar por uma reforma, de tal modo que agora há a chamada Física Moderna.
Portanto, quando se vê, principalmente nos canais da mídia, pessoas falando que alguma teoria física é uma verdade absoluta, ou mesmo colocando-a como se fosse. Bem, lembre-se dos exemplos; evitará constrangimentos, equivocos e choques futuros.

"Os homens sempre precisam estar pesquisando, sempre aprendendo; contudo, há um infinito além" (Ellen White, Mensagens Escolhidas, v. 3, p. 306).

Algoritmo da Raíz Quadrada

Veja na animação abaixo, 4 modos diferentes, e alguns, incriveis, de se encontrar a raíz quadrada, sem ter que usar calculadora.

...

Se desaja baixar para seu computador, clique aqui. (necessário WinRAR)

Curiosidades Sobro os Números

Lá estava eu procurando uns livros na Biblioteca "Carlos Benjamin de Lyra" sobre história da matemática e algumas biografias, que todavia, não encontrei. Mas peguei uns 4 livros da sessão de História da Matemática.

Primeiramente, comecei a ler o The Mystery of Numbers (de Annemarie Schimmel, 1993, publicado pela "Oxford University Press"), e então comecei a ter a idéia de estudar mais a história, filosofia, origens... etc. dos números, assim, os números como algarismos. E isso comecei a observar também nos outros livros, e por fim, fiquei bem empolgado no assunto. Mas como são MILHARES de páginas em todos os livros, me apeguei mais ao estudo do The Mystery of Numbers, e apenas recorria aos demais para aprofundar mais e ver a opinião de outros livros, aliás, em alguns momentos o The History of Mathematics: An Introduction (de Victor Katz, da University of the District of Columbia, publicado pela Addison Wesley Longmann) e o A História da Matemática (de Carl B. Boyler, professor do Brooklyn College, publicado pela Edgard Blücher).

E o mais interessante, foi o que encontrei no livro The History of Mathematics, no qual faz um anagrama sobre o desenvolvimendo dos simbologos que hoje conhecemos como 1, 2, 3, 4...0. Tudo tem por origem na India, com o "Brahmi numerals", então tal desenvolveu-se um pouco para o "Indian (Gralior)", o qual alguns número já possuem alguns traços com os que conhecemos. E deste, passou para duas frentes: 1. West Arabic (gubar) 2. East Arabic (que ainda é usado na Turquia). Bem, daí, os europeus incorporaram esses números arabes, e então, fora-se transformando até que no "15th Century" passará a possuir traços muitos próximos dos atuais, e então desse, passou para o "16th Century (Dürer)" que enfim, são os números como hoje são.

Mas como o próprio livro é bem denso, contém 314 páginas, eu pensei em ler algumas coisas nas férias, mas como nas férias, a Biblioteca vai fazer a contagem, pediram que entregasse antes e que vai ficar fechada durante; bem, então optei por apenas ler alguns capitulos que me chamaram a atenção. Os primeiros 6 capitulos é uma introdução geral ao livro, os estudos feitos, até mesmo explicando algumas coisas quanto aos números, algumas informações históricas interessantes e até mesmo sobre algumas superstições (que aliás, é o nome do sexto capitulo). Bem, após, eu li um pouco sobre o número 2 (um capitulo), ai me empolguei e fui ler sobre os números 6 e 7 (creio que depois lerei o do 1). Bem, e são esses os capitulos que me chamaram a atenção, com os quais colocarei muitas informações, curiosidades nesse post:

"Six The Perfect Number of the Created World" (p. 122-126)
"Seven The Pillars of Wisdom" (p. 127-155)

6 - O Perfeito Número da Criação do Mundo
O número é considerado perfeito, devido algunas propriedades matemáticas, entre algumas outras, são:

• A soma: 1 + 2 + 3 = 6
• O produto: 1x2x3 = 6
• O produto, ou mesclagem, entre o homem (representado pelo número 2) e a mulher (representado pelo 3) [é preciso estudar sobre os números 2 e 3 para saber o motivo de tal representação] tem por resultado: 2x3 = 6
• O número 6 é a base das figuras geométricas, visto que como tal é resultado tanto de 1x2x3 como 1+2+3. Veja que incrivel comparação ocorre quanto a geometria: 1 representa o ponto 2 (ou 2 pontos) representa uma reta 3 (...) representa um triangulo que forma um plano.

E o que me surpreendeu foi que no meio do capitulo começou a falar da Bíblia, dizendo que o número 6 representa A CRIAÇÃO. E também tráz uma expeculação
"six is not perfect because God has created the world in 6 days; rather, God has perfect the world in 6 days because the number was perfect." (p. 122)

E também consta com uma fascinante observação de Augustine (acho que é o santo Augostinho):
"Augustine argues is a similar vein and is even able to divide these 6 days into 3 parts: on the first day [1 dia] God created light; on the second and third day [2 dias], heaven and earth, the fabrica mundi; and in the 3 last days he made the individual creatures, from fish to man and woman." (p. 122 e 123) [pense na questão 1x2x3 = 1+2+3 = 6]

O livro fala também um pouco sobre o sábado. Mas nada de especial. Contudo, algo realmente também incrível, foi quanto a observação dos serafins na página 123:
"The fact that the seraphin of Isaiah's vision (Is. 6:2) had 6 wings points to their perfection."

Também achei interessante suas observações quanto ao pôr-do-sol biblico, simbolizando pela sexta hora da tarde de sexta-feira. Já na página 24, até faz uma análise de Mateus 25:34-36 que eu nunca tinha reparado. No v.34, fala sobre a fundação do mundo (a criação, os 6 dias), e logo em seguida, Jesus, faz uma interessão de idéias com 6 atividades, para saciar as necessidades básicas da vida (confira):
de Hrabanus Maurus:

1. fome: a alimentação, o pão de cada dia
2. sede: a água
3. forasteiro: uma pessoa sem teto, sem ter um lugar apropriado para dormir, ou mesmo viver
4. nu: a vestimenta do corpo
5. enfermo: a questão da saúde
6. preso: estar num local afastado dos entes queridos, solidão e coisas do tipo

Como pode ver, o total é 6. E aí fica aquelas perfungas: Coincidência? Bem, após pensei um pouco mais, e percebi que se você for encarar o número 6 como perfeito e mesmo simbolizando a criação, o que fica implicito O Criador que é o Mantenedor, aquele que cuida do Seu povo e os próprios ensinos de Jesus, talvez até aprofunde mais os versos, trazendo a idéia de que ISSO É PERFEITO, a caridade, e que isso está envolvido com a adoração do Criador, e envolve a criação. E mais, Tiago diz, que é a perfeita religião (Tia. 1:27).

O livro faz a seguinte conclusão quanto a isso: "In Matthew (25:34-36), the 6 is seen as a symbol of the vida activa, the life of good works."
Bem, com essa idéia, pense na questão do quarto mandamento de Deus: 6 dias trabalharás? Visto, que 6 simboliza "a vida ativa", "as atividades do dia-dia". Interessante, não?

Fala também sobre o livro de Apocalipse, o cap. 10 em especial, sobre os 7 anjos, em que 6 anunciam o longo julgamento, mas que o sétimo anuncia que esse divino ministério fora concluído, finalizou. (aliás, por pouco que não faz um estudo sobre o Juizo Investigativo.)

Bem, nessa altura é esfocalizado um pouco a Biblia, e começa a envolver o 6, com o Zoroastrianism da Pérsia. Faz também uma mensuração ao hexagrama, a "Hermetic tradition". A criação indiana do Vishnu triangle e também sobre o destrutivo Shiva triangle. Após, volta-se novamente para a Bíblia, analisando, um pouco, a "estrala de Davi". E apenas notifica quanto ao portal da Catedral de Freiburg, Alemanha.

E, por fim, faz uma observação fascinante quanto ao hexagono na Química Orgânica, como a estrutura molecular do anel benzeno (benzine ring), C6H6. (falta recursos de edição de texto no blogger)


7 - Os Pilares da Sabedoria

Diferentemente do número 6, esse capítulo é muito longo, possuí muita coisa mesmo, há influência em diversas culturas. E que portanto, apenas destacarei quanto aquilo que mais me interessou.

Bem, de inicio ele tráz várias propostas quanto algumas coisas atribuidas à importância desse número, como: Há 7 mares; a moderna versão do "Sienbenmeilensiefel (the 7-league boot)", a marca da bebida 7-Up. E tráz uma informação interessante no segundo parágrafo da pág. 127:
"The number 7 has fascinated humankind since time immemorial. Thus, in a study called Seven, the Number of Creation, Desmond Varles has tried, as did manu others before him, to reduce everything in the sublunar world to the number 7. Indeed, it consists of a ternary of creative principles (active intellect, passive subconscious, and the ordering power of cooperation) together with a quaternity of matter encompassing the 4 elements and the corresponding sensual powers (air = intelligence, fire = will, water = emotion, earth = morals). Such a division of the 7 into these two constituent principles, the 3 spiritual and the material 4 [alguns dizem que o 7 representa os 4 elementos e a Trindade = Deus = Pai, Filho e Espirito Santo], was used time and in medieval hermeneutics and is also at the basis os the division of the 7 liberal arts into the trivium and the quadrivium." (negrito acrescentado)

Continuando, faz umas comparações quanto: Há 7 notas musicais (ver p. 128). Também quanto algumas considerações de: Shakespeare, Solon, Greek, Philo de Alexandria, Sir Thomas Browne. Sendo que, quanto a Thomas B., destaco que ele relaciona o 7 com a expectativa de vida das pessoas, como: o que é considerado baixo, a média, e o que seria uma vida longa - e que tudo, tem por - assim posso dizer matemáticamente - limit, multiplos de 7.

Então fala sobre os arabes, depois da China. E na China é interessante, que para tais, o 7 simboliza (ou simbolizava - não sou tão fluente para ler em inglês) as fases da vida das mulheres. E mostrá lá. E o mais incrível é que tem lógica. E que são coisas dificil de se dizer: "Bem, essas 20 coisas serem fatos e envolverem o 7 é pura coincidência." Aí, também fala sobre o Pseudo-Hippocrates, que para tal, o 7 influencia sublimarmente os valores (tipo, humanos, sociais, filosóficos, morais...). E também relaciona-o com a astronomia. E entre diversas outras relações que variam desde a Babilônia até os Maias, entre muitas outras coisas, que aliás, o capitulo fala muito sobre vários povos que relacionavam o 7 com a astronomia, principalmente, porque até então, eles sabiam da existência de 7 planetas. E no geral, há uma relação do 7 quanto a filosofia humana, de como tornar-se uma pessoa perfeita, mente 100% equilibrada, estado de espirito etc. Até fala uns negócios sobre o Taoismo (uma filosofia atéica chinesa) e o budismo, mas não li direito.

Até que, finalmente, na página 132, ele começa a falar sobre a relação do 7 com a Bíblia. E nossa, fala várias coisas. O próprio livro faz uma observação quanto a Biblia:
"The Old Testament is replete with heptads."
E então, mostra algumas referências etc. Até que fala de Salomão. - Bem, nessa altura, confeço, que quando estava escolhendo os livros lá na prateleira da Biblioteca, buscando conhecer mais sobre os grandes feitos da Matemática, a última coisa que eu imaginaria, é que num determinado momento, um dos livros estaria-me fazendo ler o livro de Provérbios, ou que então falaria de Salomão. E diz o seguinte, apesar de eu estar com certos problemas para entender a última frase, devido ao meu limitado inglês:
"As 7 contains everything, the Proverbs praise the 7 Pillars of Wisdom (9:1) [que inclusive a caracteristica principal atribuida ao 7, e que é o titulo do capítulo], and when Zechariah speaks of the 7 eyes of the Lord, he uses image to evoke God's omnipresence and omniscience (4:10. The idea of 7 divine eyes reoccurs in later Sufism in connection with the 7 great saints who, as it were, are the eyes through which God looks at the world." (ênfase acrescentada)

Nota: Wisdom quer dizer, sabedoria, prudência, discernimento, bem-senso e coisas do tipo. Enfim, basta ler Prov. 9:1 que você encontra lá o que quer dizer.

Depois de um paragrafo, o texto aborda sobre o "sábado", umas coisas incríveis, como abaixo:
"The seventh of these lower sefirot (the tenth one altogether) is the Shekhinah, which is called the Sabbath Queen and whitch, the Zohar explains, corresponds to the seventh primordial day." (negrito acrescentado) [atente para a oração final]

Isso não faz pensar quanto a importância do sábado? Qual a sua relação para com o 6 que representa a perfeição e a Criação - numéricamente falando? Creio que o sétimo dia confirma, assina, CARIMBA a apólice da perfeição, da Criação. Para aqueles que são sabatistas ou que meramente conhecem a doutrina sabatista, percebe-se que dá para incluir um significado ainda mais profundo quanto ao mandamento de Deus de guardar o sábado (o dia 7).

Bem, depois você pode ver nas páginas 134 e 136, umas ilustrações quanto ao candelabro e algumas informações. Na pag. 135 faz uma análise bem interessante quanto a ressurreição de Jesus, na qual foi no oitavo dia (após o dia 7), e fica nas entre-linhas que isso significa que o próprio Jesus observou a importância do dia 7. (Confeço que nessa hora até me passou na cabeça se o autor tem algum vinculo com os Adventistas.) Depois fala sobre a relação do 7 para com o islamismo. E nas páginas 137-139, é feito uma expeculação medieval de que o moderno cristianismo [bem, poderia considerar a "instituição" que a representa em nivel mundial (Católica)] não se baseia na Biblia, mas possui um envolvimento pagão com as idéias de deuses gregos, especialmente, Apollo e Atena; isso, através do número 7. E então depois começa a falar sobre isso, de que isso veio de Roma, pois tal pegou tais tributos dos gregos, e a Igreja incorporou. [Interessante, nem, mesmo os números deixam de acusar sobre a verdadeira imagem da Igreja Católica e o que a levou a ser o chifre pequeno de Daniel.]

Considerações Finais:

Algo esse conteuto me fez pensar: Os números, essa complexidade, como eles são envolvidos na Bíblia, e que só foram compreendidos mais rescentemente. Testemunham de que a Bíblia não fora escrita por qualquer um. E torna-se dificil dizer: "Esses milhares de fatos são pura coincidência." Enfim, os números também são mais um testemunho quanto a confiança das Escrituras Sagradas, e que é uma obra incrivel e que vale ser estudada; até mesmo, na História da Matemática.

Bem, termino por aqui. Afirmo, que de agora em diante, vou prestar muito mais atenção nos números. hehe E também, recomendo esse livro, pois ele é bem seguro, aliás, vem da Universidade de Oxford. Ele aborda profundamente os temas, busca várias fontes, não é um livro que se prende na religião; mas devido aos fatos, a realidade, não teve como deixar de lado. Uma coisa que gostei muito, é que ele diz: isso é fato, isso é uma suposição, isso é expeculação, isso é uma idéia misticismo ou ocultismo (não nessas palavras). Ele faz essa distinção do seu conteúdo. Não sei se há uma versão traduzida para o português, mas vale a pena ler. Na última página, tem uma marca do IME, que diz que custou R$ 36,71; portanto, é barato comparado a tantos.

Série de Taylor

Também conhecido por Polinômio de Taylor, trata-se de uma série infinita de um função, a qual o valor dessa função pode ser calculado algébricamente por uma soma infinitamente aproximada (ou exata, dependendo do valor e do tamanho da série).

Bem, a prova (ou demonstração) desse teorema, quem sabe eu coloque um outro dia, pois é bem complexo. Já, aqui partiremos para o teorema, na prática.

Bem, com essa função, (o qual é preciso ter uma idéia de derivadas), você pode usá-lo como um algoritmo para descobrir o valor de qualquer função, até daquelas mais complicadas. Ai vai alguns exemplos de funções, através do Polinômio de Taylor.

para x >0






para x <>

Bem, como funcionam essas equações. É simples, pense num valor de x, e substitua na fórmula, nos lugares onde dá x, e calcule o final da conta. O "..." refere-se, que você pode aumentar infinitamente essas frações, segrindo a progressão que se pode observar, segundo o polinomio de Taylor. E que quanto mais frações, mais próximo do exato valor estará, ou talvez, em algum momento já se consiga o valor exato. Aliás, esse polinômio é interessante para calcular o resultado de uma função que tende a uma dizima periódica infinita, ou mesmo um número irracional.

Também há um cáculo extra, no qual, você se tem uma "margem de erro", e pode-se saber até quando precisa para chegar numa determinada margem de erro. Mas ai complica um pouco mais, talvez eu coloque junto, quando colocar a demonstração do teorema e seus propriedades mais a rigor.

Eu dei uma olhada em alguns livros, e se não li equivocadamente, em Cálculo 4, serei apresentado ao Polinomio de Taylor para função de várias variáveis, o que também seria bem interessante.

Veja também: Teorema de Taylor - Demonstração

A Matemática da Mega Sena

Inconformado em saber que milhões de pessoas em todo o Brasil ficam gastando dinheiro jogando na Mega-Sena, com aquela esperança de "eu posso ganhar", ou "alguem tem quem ganhar, e por que não eu?" Bem, espero que esses dados matemáticos ajudem a compreender um pouco melhor as "Probabilidades" da coisa.

No site: http://www.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp

há alguns dados, porém, no minimo "estranhos", principalmente quanto as sua interpretação e condições. Então aqui colocarei algumas comparações para ter idéia sobre a grandeza dessa "chance", ou "tendência", ou, simplesmente, sua probabilidade de ser sorteado e ganhar o premio milionário, e uns métodos alternativos e certos de torna-se rico.

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Bem, para ganhar, você tem que acertar seis números, sendo que variam de 00 - 60. Num dos modos mais práticos da matemática de se saber, quantas são essas possibilidades, eis o meio:

Representemos as seis casas, onde estarão os seis numeros sorteados:

__ __ __ __ __ __

Bem, então agora associamos, a cada uma delas, a quantidade de numeros (ou bolas) possiveis para cada:

__ __ __ __ __ __

60 59 58 57 56 55

Então para cada uma delas, há a possibilidade das demais. Ou seja, temos que ajuntar tais. É aquele famoso: "Você tem que acertar a primeira e a segunda e a terceira e a quarta e a quinta e a sexta." Enfim, esse "e" representa uma multiplicação (sem entrar em mais detalhes do motivo).

Enfim, o números de eventos possíveis é o resultado dessa conta:

60x59x68x67x56x55

Que é igual a: 36.045.979.200 eventos possíveis.

Então, se você apenas optar por jogar 1 vez, em 6 números, a sua chance é de 1 em "36 bilhões 045 milhões 679 mil e 200"

Ou seja, na representação fracionária:

____1____

36045979200

na, decimal: (aprox.) 0,0000000000277423452544188

ou ainda, 0,00000000277423452544188 % aprox.

Isto está muito mais próximo, infinitesimalmente, de ZERO do que 1%.

Bem, sabe o que isso quer dizer? Qual é o tamanho, a grandeza dessa possibilidade, tendência? Bem, então vamos lá para algumas comparações astronomicas, para você perceber ter uma idéia de qual a chance de você ganhar.

PRIMEIRO EXEMPLO

Suponha que há um sorteio a cada mês e todo mês você joga. E isso, durante 500 anos (supondo que sobrevivesse tanto tempo).

Então o total de jogos: (meses)12x500(anos) = 6000 jogos

Então a sua probabilidade é de 6000 para 36.045.979.200

ou seja, fração:

___6000___

36045979200

Simplificando, isso é aproximadamente igual a:

____1_____ ou seja, de 1 em 6.007.663 (aprox.)

6.007.663,2

ou então, decimal: 0,000000166

ou, 0,0000166%

Enfim, é essa a sua chance de ganhar, mesmo que você jogasse todos os meses por 500 anos!!!

INVESTIMENTO

Agora, vamos supor que ao invés de você gastar esse dinheiro todo com a mega-sena, por quinhentos anos. E mesmo assim ter uma chance ridicula e insignificante de ficar milionário. Vamos, partir para um outro método de ficar rico e cheio da grana.

Suponha, que você gastasse R$ 1,00 para jogar cada vez (o que está abaixo do preço real). Ou seja, nesses 500 anos você gastaria R$ 6.000,00. Então, ao invés de gastá-los desse modo(no jogo), você aplicaria desde já 6 mil reais numa CDB por exemplo, em que o juros rende um pouco mais do que uma Poupança.

Enfim, através da equação de juros compostos. Chegamos em algumas coisas incriveis:

[Abaixo, uma relação de quantos anos e o valor que você teria no total, aproximado]

(lembrando que você investimento inicialmente: R$ 6.000,00)

10 anos: R$ 15.562,45

50 anos: R$ 704.345,11

100 anos: R$ 82.683.674,04

150 anos: R$ 9.706.307.014,66

200 anos: R$ 1.139.431.658.762,79

...

500 anos: R$ 2.981.905.180.387.460.000.000.000,00

Bem, eu nem sei ler isso! É uma quantia astronômica. Certamente, você seria a pessoa mais rica do mundo. Você poderia comprar simplesmente TUDO! Todo o planeta, estação espacial, satélites, todas as nações das Terra. Ou até mesmo, outros planetas. E ainda assim, creio que faltaria muito dinheiro para gastar. Creio que nem existe tanta grana no mundo.

E quanto mesmo você ganharia na Mega Sena? Uns 50 milhões (50.000.000,00) e olha lá.

Enfim, qual seria uma atitude mais inteligente para ganhar, ficar rico, n-nário, cheio da grana: Sena ou investimento?

SEGUNDO EXEMPLO

Vamos mudar um pouco o contexto. Agora é o famoso jogo de Truco.

São 40 cartas.

Primeiro caso:

A sua chance de pegar uma carta especifica, como um zap, ou copas, ou espada, em uma jogada: é de 3 em 40

3:40 = 0,075 = 7,5%

A probabilidade disso ocorrer é ainda 450.574 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

Segundo caso:

A sua chance de pegar o TRIO MAIOR (Zap, copas e espada) na mesma mão entre 11 rodadas (que é o máximo para 1 partida):

11x(1/40)³ = 0.000171875 = 0,0171875%

A probabilidade disso ocorrer é ainda 1.032 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

TERCEIRO EXEMPLO

Comparação com jogo de dados.

Se você pegar 6 dados e sacudi-los e jogá-los numa mesa. A probabilidade deles darem ao mesmo tempo, todos 6, é de:

1 em 6x6x6x6x6x6 = 46.656

ou seja, 0,00002143347051 = 0,002143347051%

A probabilidade disso ocorrer é ainda 128 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

QUARTO EXEMPLO

Se você entrar numa biblioteca que possui 100mil livros e simplesmente dizer para o bibliotecário que quer um livro espefico, mas sem dizer o nome. E ele então traz 10 livros. A chance do livro que você quer ser um deles é ainda 600 vezes maior do que ganhar na Mega Sena em 500 anos!

QUINTO EXEMPLO

Dois amigos, cegos, vão ao estádio do Morumbi. E um não sabe onde está o outro. E então em algum momento, um deles aponta um leiser para algum lugar das arquibancadas. A chance dele acertar de primeira no amigo é ainda 100 vezes maior do que ganhar na Mega Sena em 500 anos.

SEXTO EXEMPLO

Se você pegar uma lista (sem qualquer tipo de ordem) com os nomes de todas as pessoas da sua cidade, supondo que há 1 milhão de habitantes. E você fechar os olhos, e jogar uma pedrinha a qual cobre 5 nomes, e ao cair sobre a lista, um dos nomes que ela cobrir ser o seu nome, é ainda 30x maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

INVESTIMENTO Exemplo 2 (ficar rico ainda nessa vida)

Suponha que em 10 anos, se você fosse jogar 10 mil reais, com qualquer tipo de loteria, rifa, bingo, caça-niquel... e ao invés disso, pegasse esses 10mil e investisse em ações, de forma que rendesse, pelo menos 5% ao mês (o que é bem razoável). Em 10 anos você teria pelo menos R$ 3.489.119,86. Isso, sem contar os dividendos, participação de lucros entre outras coisas.

Bem, aí está uma forma CERTA de se ficar milionário, sem gastar o seu precioso dinheiro no que alguns tem a aldácio de chamar de "sorte" (o que eu chamaria de ser algo que tem muita probabilidade de não acontecer e acontecer) - uma burrice tremenda, diria eu. Isso fora, que você poderia usar o dinheiro que gasta com a cerveja, as drogas, cigarros, doces entre outras coisas inúteis, e investir ainda mais; e certamente, você esperaria muito menos que 10 anos e já seria um milionário.

Aliás, ao invés de ficar também gastando a toa esse dinheiro todo depois. Você poderia simplesmente viver, numa boa, apenas com o que ele continuasse rendendo através das ações, que seria mais de 100mil reais por mês. Ou então, pela renda dela numa poupança ou uma CBD, que seria algo em torno de 35 mil reais por mês. Tá bom para você? Bem, é o sonho de muita gente.

A diferença, é que para isso você teria que ter uma paciência de aguardar 10 anos, e ter uma visão futura para sacrificar o agora, ajuntando 10mil reias e investindo-o, ao invés de gastá-lo com outras coisas temporais. E normalmente, as pessoas que optam por jogar na Mega Sena, tem uma atitude temporal, querem agora etc. E ficam pensando: É mais fácil ganhar assim. - Como vimos, mais fácil coisa nenhuma. É algo em que a probabilidade de acontecer é menos do que 1, ou seja, NÃO É CERTO QUE ACONTEÇA. E aliás, a tendência de ocorrer, em muitas calculadoras é ZERO, ou seja, NENHUMA. Ao invés disso, investimento, uma boa aplicação é uma ATITUDE CERTA de que vai acontecer. Apenas você precisa revestir-se de uma visão futura e longanima.

"Melhor é o que se estima em pouco e faz o seu trabalho do que o vanglorioso que tem falta de pão. " Prov. 5:10

"Os bens que facilmente se ganham, esses diminuem, mas o que ajunta à força do trabalho terá aumento." Prov. 13:11

"O preguiçoso mete a mão no prato e não quer ter o trabalho de a levar à boca." Prov. 26:15

Teorema de Pitágoras

Bem, certamente trata-se do teorema mais conhecido da Trigonometria, e que certamente todo mundo decorou quando esteve principalmente no colegial, cursinho. Porém, certamente a grande maioria das pessoas devem pensar-se "DA ONDE SAIU ISSO?" Será que um dia Pitágoras estava jogando pedrinhas no mar Mediterraneo, e de repente veio-lhe uma luz na mente, e fez o teorema?

Mostrarei aqui o Teorema, uma forma simples de prová-lo, ou seja, de mostrar como ele é feito. E como dizem que o Pitágoros lho inventou.

Primeiro lembre-se desse triangulo:

Era dai que se tirava o teorema, sendo este: c² = a² + b²

ok?

Bem, então lembre-se: É ai que queremos chegar.

Agora pegue esse triangulo, faça 3 triangulos iguais, e gire-os, organizando-os como mostra abaixo.

Bem, não vou perder tempo para mostra que o que se tem dentro é um quadrado perfeito de lado c, e com 4 angulos internos de 90 graus. Creio que você mesmo consiga chegar a isso.

Nesta figura encontramos o segredo para chegar no Teorema de Pitagoras.

Como? Apenas verificando as AREAS.

Primeiro, temos o quadrado maior, que abrange tudo, que tem por lado (l)= a + b

Então a sua area é: l² = (a+b)² = a² + 2ab + b²

- certo?

Agora, vamos encontrar a area do TODO, pelas areas das figuras internas, ou seja, dos 4 triangulos e do quadrado central.

Como os 4 triangulos são iguais, suas areas são iguais, que é b.a/2. E o quadrado tem area de c², certo?

Então, por fim, a area das figuras internas é de: 4.(a.b/2) + c² = 2ab + c²

Porem, essa area é a mesma, do que a area do quadrado (a+b), não é mesmo? Então igualamos suas areas:

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + 2ab - 2ab + b² = c²

a² + b² = c²

Então, c² = a² + b²

Enfim, é onde queriamos chegar.

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Curiosidade: Pitágoras, foi um grande matemático, um dos pioneiros, na Grécia. Ele estudou longos anos na India, norte da Africa e Oriente Médio, e regressou como um homem VEGETARIANO para a Grécia. Porém, ele não comia feijões, porque acreditava que cada vez que se peidava um pouco da alma da pessoa saia (literalmente). E fundou na Grécia um Grupo Vegetariano de Matemática, no qual começaram a brincar com os números. O mais incrivel, foi que ele uma hora tornou o numero 1, a unidade, o inteiro, um deus! Acreditava que a unidade era a essência de tudo que se possa imaginar. Porém, ele ficou decepcionado quando descobriu que não se conseguia sempre fazer triangulos retangulos deste modo, pois, na maiorida dos casos, um dos lados sobrava algo mais ou menos do que uma unidade para completar.

Uma das coisas mais incriveis,foi que nesse periodo de investigação, em tentar formar um triangulo retangulo com unidades inteiras; um de seus alunos começou a desconfiar - antes de cair a ficha do Pitágoras - que isso era impossível! Mas os demais alunos o silenciaram, afogando-o! Para que isso não chegasse nos ouvidos de Pitagoras, que mais tarde veio a descobrir, que sua crença estava no minimo, falsa.