Esses dias algumas pessoas me questionaram quanto a paridade do zero dizendo para provar que ele é par. Bem, é uma questão no minimo legal. Então colocarei aqui vários ambitos de análise e o resultado obtido em cada um deles.
Definição de Par e Ímpar
Par
n = 2k
Impar
n = 2k + 1
Tal que n, k є I.
Então, caso fosse impar:
0 = 2k + 1
k = - 1/2 (absurdo)
Logo, k é par:
0 = 2k
k = 0
Propriedade da Soma
A soma de números iguais, em módulo, é sempre par.
par1 + par2 = par
I) -2k - 2k = 2(-2k) = 2n
II) 2k + 2k = 4k = 2(2k) = 2n
III) 2k - 2k = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0
impar1 + impar2 = par
I) -2k - 1 - 2k - 1 = -4k - 2 = 2(-2k - 1) = 2n
II) 2k + 1 + 2k + 1 = 4k + 2 = 2(2k + 1) = 2n
III) 2k + 1 - 2k - 1 = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0
Não existe uma soma de resultado impar que se resulte em zero.
Divisibilidade
Uma definição também para par é que o número é divisivel por 2.
Pois n = 2k, logo n/2 = k
0 = 2.0
0/2 = 1.0 = 0
ou seja:
0/2 = 2.Inteiro + zero de resto
- Caso fosse impar isso se resulta em absurdo.
n = 2k + 1
0/2 = 2. Inteiro + 1 de resto
0 = 4.k + 2
4k = -2
k = -1/2 (absurdo)
A Soma de 2 Números Pares
Como já visto, a soma de dois números pares é sempre par.
E a soma de dois números impares é sempre par também.
2 números pares
0 + 2k = 2k
0 + 8 = 8
2 números impares
0 + 2k + 1 = 2k + 1
0 + 1 = 1
(logo é uma soma de um par com um impar)
- aqui também fica a questão da propriedade do elemento neutro das aditivas.
- consequencia dessa propriedade, multriplicação de pares por impares se resulta em par.
Multiplicação Par x Impar
2k.(2y + 1) = 4ky + 2 = 2(ky + 1) = 2n
Logo,
0.impar ou 0.par = par
Pares Perfeitos
Números pares são números que correspondem a uma associação igual entre dois números sem ter resto.
Ou seja, podemos representar da seguinte forma:
7 = / / / / / / /
Pegando seus pares e os removendo, ou seja, dividindo por 2. Temos traço sem par, ou seja, houve o resto de 1.
4= / / / /
Assim, se tem 2 pares e com resto zero.
0 = ?
Aí entra um problema, pois não há pares em zero; porém o resto é zero. Mas não há o par.
Logo, nessa definição zero não é par. Ou seja, quando se tem o número associado como quantidade o zero é puramente neutro e não adquire propriedade como par, nem impar.
Confusão de Conceitos
Talvez a grande questão que leva a confusão seja um problema quanto alguns conceitos quanto as caracteristicas de um número.
Característica 1: Conjunto
Um número pode ser Racional ou Irracional, num dominio Real.
Característica 2: Primaridade
Número primo são os números que apenas são divisiveis por 1 e por ele mesmo. Até hoje não se encontrou uma equação ou formulação certa para isso.
Quanto a isso, os números são classificados como primo ou não-primo.
Característica 3: Opostos/Inversos e Neutros
Neutro = associação de opostos ou inversos
0 = 1 + (-1)
0 = 4 + (-4)
1 = 2^0 = 2/2 = 1 = 2.(1/2)
1 = 7^0 = 7/7 = 1 = 7.(1/7)
Característica 4: Pariedade
Números divisiveis por 2 são pares.
Ou seja, um número pode possuir uma ou mais caracteristicas. E não se pode dizer assim, se ele tem a caracteristica de neutro então não pode possuir outra. Caso fosse assim. Se o (-2) é oposto de 2, então não podemos dizer que ele é par?
Quocientes, númeradores e restos
Vamos pensar no 4,4 no 2,2 e no 1,1. Eles são pares?
No conjunto dos racionais são, no dos inteiros não?
4,4 : 2 = 2,2 + 0
Ou seja, resto 0? Não. Pois 4,4 / 2 = 2 + 0,2
2,2 / 2 = 1,1 + 0
É assim? Ou é 2,2 / 2 = 1 + 0,1 ?
1,1 / 2 = 0,55
Um dos problemas é que muitos esquecem que decimais são frações, não é um resto zero. Ou então, associam qualquer número com finais (a última casa à direita) 0, 2, 4, 6 e 8 como sendo par. Em geral, são alguns vicios de se trabalhar com tais algarismos pares, de modo a identificar o número como par devido a isso. E com isso, é comum olhar números pares com final zero, como 10, 50, 100, e, devido a isso, considerarem o zero como sendo um número par. Sim, se pode dizer que quando o ultimo algarismo do número for par, o número é par; mas afirmar que devido a isso o zero é par; é esquecer da propriedade do que define um número sendo par. Porém, esquecem de uma propriedade de dizima periódica: Qualquer número racional tem dizima periódica.
Tanto o 3 quanto o 3,3 quanto o 3,33...
3 = 3,0000000000000000000... (dizima em zero)
3,3 = 3,3000000000000000000... (dizima em zero)
3,33.... = 3,3333333333333333333... (dizima em 3)
- Algum deles é par? E os seguintes?
2 = 2,0000000000000000000... (dizima em zero)
2,2 = 2,2222222222222222222222... (dizima em dois)
2,22222222222222 = 2,222222222222220000000... (dizima em zero)
Pois muitas vezes se faz uma confusão quanto a diferenciar o que é parte inteira e parte decimal. Exemplos:
2,2 = (2 + 0,2) = 2 + 2.10^(-1) = 2 + 2/10
Tem a parte inteira e a parte decimal. A parte inteira pode ser classificada se é par ou impar. A parte decimal não, nela, apenas podemos dizer qual algarismo é par ou impar.
0,5 é par?
e
1/2 é par?
e
5/10?
10/20?
40/80?
Percebeu qual é realmente o significado de número inteiro e de resto zero? O que se deve levar conta para considerar o zero como par?
A Régua
Por fim, um exemplo simples. Numa reta, os pontos representam sua posição no espaço. Quanto as casas dos centimetros. Sempre segue uma ordem par, impar, par, impar... contatos a partir de uma referência. A regua começa normalmente com 0, 1, 2, 3, 4, ... (par, impar, par, impar...). Apenas no 1 se tem a unidade. Logo toda unidade tem tamanho 1. Como é impar, é uma associação de um par com um impar: par - impar = 1
1 - 0 = 1
2 - 1 = 1
3 - 2 = 1
Agora mude a régua. Arraste de modo que a régrua seja: -1, 0, 1, 2, 3, ... (e aí mudou alguma coisa?) Não, a propriedade continuou igual. Note que a ordem contiuna: (impar, par, impar, par...) É o algarismo que representa se é par ou imparO ponto zero representa a unidade 1. Ou seja, continua a mesma história, do tamanho, do módulo:
0 - (-1) = 1
par - impar = impar
1 - 0 = 1
Questões para ficar careca
1) Pense no 0,999... (dizima em 9) e no seu oposto. Ambos são zero, certo? E tais, são pares ou impares?
2) Entre dois números irracionais sempre há um racional? E entre dois racionais, sempre há um irracional?
3) No conjunto dos Reais, qual é os números (infinitamente) a direita e a esqueda de zero, são pares ou impares? Racionais ou irracionais? O zero pode ser um irracional?
4) Na fatoração. Porque não se faz: 5.4.3.2.1.0! ? Sem levar em conta, a primeira vista, que qualquer fatorial seria igual a zero.
5) Por que ocultam-se os zeros do Triangulo Aritmético (de Pascal)?
6) Demonstre o absurdo de se dizer que algum número é divisivel por zero. E que 0^0 = 1.
7) Dê o conjunto solução de "par" dividido por "par". E - sabendo o que é par e impar - pode-se dizer que toda fração racional não-par é impar?
, tal que pertence:
