O Número 1089

Você já deve ter feito ou passado por aquelas pegadinhas com números. Bem, essa é mais uma e muito interessante. É assim: Escolha um número de 3 dígitos diferentes (ex. 541), depois inverta a ordem dos números (145), subtrao-o com o anterior em módulo (396), então inverta a ordem desse número (693) e some com o número anterior (693 + 396), o resultado será 1089.

Um outro exemplo:
Escolha: 102
Inverso: 201
Subtração em módulo: 099
Inverso: 990
Soma: 1089

....
Bem, a pergunta que não quer se calar: Por quê?
....

Vamos análisar isso.

TESE
Seja X um número de 3 dígitos (ABC), tal que A = 100u1, B = 10u2, C = u3, onde u = (u1, u2, u3) e A ≠ B ≠ C. E w = {w1, w2, w3}, tal que w, u = [0, 9] ∈ N. Então:

|ABC - CBA| = DEF
e
|DEF + FED| = 1049

ou

|X - X'| = Y
e
Y + Y' = 1049

para X = ABC, X' = CBA, Y = DEF e Y' = FED


PROVA
X = ABC = 100u1 + 10u2 + u3
X' = CBA = 100u3 + 10u2 + u1

|X - X'| = |99 u3 - 99 u1| = 99.|u3 - u1| = Y

|u3 - u1| = k (k ∈ N)

Como {u3, u1} = [0, 9] e u3 ≠ u2. Então, k = [1, 9]

Portando, os possíveis valores de Y são:
Y = {099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891}

Como Y = DEF, logo se percebe que Y = D9F

Y = 100w1 + 10w2 + w3 = 100w1 + 10.9 + w3
Y = 100w1 + w3 + 90

Note que w1 + w3 = 9 (I)

Então, Y' = 100w3 + 90 + w1 = FED = F9D

Y + Y' = 100w3 + w3 + 2.90 +100w1 + w1
= 101w3 + 180 + 101 w1
= 101(w3 + w1) + 180
= 101.(9) + 180 usando (I)
= 101.9 + 180
= 909 + 180
= 1089

Portanto, Y + Y' = 1089 c.q.d.