Foto: Cristal de Gelo

Fonte: Inovação Tecnológica

Eis a imagem do que na matemática chama-se de "Fractal". Há divesos tipos. No próprio cristal de gelo podem haver vários tipos que variam. Trata-se de uma sequencia lógica e matemáticamente observada, na qual, apenas gravando o processo e mandando gerar essa sequencia, tal vai se expandindo conforme essa lógica. Um outro exemplo, é das colméias, que seguem razões para com o hexágono.

Recordo das aulas de MAC115 com o professor Júlio Stern no IME-USP. No qual usávamos um aplicativo - feito por ele, se não me engano - chamado de "iGeom". O qual permite se trabalhar gráficamente, geometria, e desenhos em 2D. Inclusive gravar um processo, uma lógica, uma função trigonométrica, como script, e assim, poder gerar diversos fractais. E se não me engano, chegamos a fazer uns 3 fractais no curso.

Exercício de Lógica - O Prisioneiro

Um exercício muito 10 mesmo e bem dificil, aparentemente, é aqueles do tipo "O Prisioneiro", no qual é preciso pensar na resposta, de modo a obtê-la por isolamento; pois diretamente, não há como. E a estrutura da linha de raciocinio para desenvolver a resolução, não deve ser do Inicio para o Fim, mas do Fim para o Inicio. Ou seja, pensando na resposta, para elaborar a pergunta e o meio.

O Prisioneiro

No antigo Egito, havia um prisioneiro numa cela com duas saídas, cada uma delas com um guarda. Cada saída dava para um corredor diferente em que um dava para o campo e, portanto, para a liberdade e o outro para um fosso de crocodilos. Só os guardas sabiam qual a saída certa, mas um deles dizia sempre a verdade e outro mentia sempre. O prisioneiro não sabia nem qual a saída certa nem qual o guarda verdadeiro. Qual a pergunta (e uma só pergunta) que o prisioneiro deveria fazer a um dos guardas ao acaso, para saber qual a porta certa?


Resolução

Por onde partir? Essa é a primeira dificuldade encontrada, pois o texto, parece não apresentar nenhuma informação tendenciosa, que indica, que elabora uma sequencia, um caminho.

Em primeiro lugar vamos dar alguns nomes lógicos:

Porta para liberdade: A
Porta para a morte: B
Guarda{verdade} : V
Guarda{Mentira} : M

Então, vamos usar o método pelo qual se deve usar, em geral, quando é um problema em que se deve descobrir "seu inicio"(no caso, a pergunta); vamos partir do FINAL:

"A resposta que queremos é A. Vamos descobrir A. Mas como?"

[é possível, também, querendo encontrar B; pois no final, tanto faz, para solucionar, qual é a porta. Mas se fosse para várias opções, tem que ser assim mesmo.]

Se não há nenhum indicativo, nenhum caminho apontado, nenhuma direção apontada pelos dados. Vamos usar o método do "Isolamento" (fica mais claro quando se possui mais do que 2 opções, mas no caso, apenas {A, B}). Ou seja, para descobrir A, vamos descobrir B, e assim, retirá-lo do caminho, desse modo, apenas sobrando A.

Então, para descobrir B, vamos descobri-lo. Como? Agora, vamos usar a ferramenta: "Os guardas". Sabemos que um guarda diz a verdade e outro a mentira. Então, queremos, que ambos apontem para B.

Logo:
V → B
M → B

O problema é o M, pois se dissermos para ele "Qual é a porta errada? Ou a certa?" Ele dirá o contrário. Então, precisamos colocar um processo a mais, de modo a reverter o processo. Ou seja, busque saber "a mentira", pois assim, você saberá, no caso do M, qual é A. Então, coloque um processo a mais, de modo a continuar que V, continue apontando para B, pois se quer descobrir B:

V → B
M → A = B

Opa! Aí as coisas começam a ficar mais claras. Tipo.. Isole B, e veja o que ocorre:
B = M → A

Subistitua no processo de V. Então temos:

I) V → M → A
II) M → A = B

Bem, a bem clara agora. Em I, temos uma estrutura do tipo:
A é retornado a V por meio de M.
ou
V, retorna A, por meio de M. (e, sei que isso é B).

Ok. Então a estrutura está pronta para o caso I, ou seja, quando se for perguntar para V, o guarda da verdade. Mas para B, ainda não está pronta. Pois pode ser tanto:

M → A = B
como
M → B = A

E aí, não tem como saber. Portanto, queremos o primeiro caso: M → A = B
Pois, como queremos isolar o B - visto que é isso que definimos - e já temos isso para I (na pergunta para V). O que se deve fazer, é FORÇAR um caso: "M → A".

Mas como?
Bem, vamos usar um fato não usado até agora.
Se V, sempre diz a verdade. Então:
V → A = A

Ou seja, V sempre vai retornar a verdade. Isso é bom, pois assim, podemos saber como adquirir A, de modo forçado, constante, sempre, absoluto. (veja a semelhança disso, para alguns passos anteriores).

Então podemos substituir A em II.
M → (V → A) = B

Então, por fim temos:

i) V → M → A = B
ii) M → V → A = B

Opa. Agora a coisa ficou já estruturada e bem clara. Agora, só é preciso trabalhar na pergunta.
Bem, temos a seguinte linha de lógica para os dois casos:
i) V, me retorne A por meio de M.
ii) M, me retorne A por meio de V.

Então há uma fórmula bem clara:
"P2, me retorne A por meio de P3"

Sendo:
- P2, a segunda pessoa (com quem você está falando).
- P3, a terceira pessoa (a referência, o meio o qual retornaria A).

Contextualizando o enunciado, P2 é o guarda com quem você irá falar, A, a porta da liberdade, e P3, o outro guarda. E como, P2 é aleatório, ao acaso, tudo bem; para ambos o caso a resposta está isolada, definida, prevista - "B".

"P2, me retorne A por meio de P3." Está numa forma de ordem. Vamos transformar isso em pergunta. E pensando um pouco, textando um e adaptando, ou talvez de primeira. Você irá desenvover uma pergunta semelhante a essa:

PERGUNTA:

"Guarda, qual a porta que o outro guarda me diria ser a que conduz a liberdade?"

E assim, se tem a pergunta (a solução do exercício). Mas antes de encerrar, vamos fazer um teste e analisar.

VERIFICAÇÃO

Caso 1: A pergunta é feita a V.

"V, qual M me diria ser A?"
Como, M mente. Então V responderia: "B".

Caso 2: A pergunta é feita a M.

"M, qual V me diria ser A?"
V fala a verdade, mas M vai mentir o que V disser. Ou seja, V, responderia "A". Então M responde: "B".

Conclusão: Por fim, seja qual for o guarda a quem é dirigido a pergunta. Eu sei qual é B. E se eu sei qual é B, eu sei qual é A. Ou seja, posso sair para a liberdade quando quiser.

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Nota: Veja como é incrivel a matemática. De inicio, a Probabilidade de escolher A, era de 1/2 (meio). Ou seja, 50% de chance de viver ou morrer. Mas deu uma chance para o cara, analisar bem a situação, possibilidades. E ele conseguiu reverter a situação para uma probabilidade igual a 1 (vai acertar e ponto final).

Acho, que futuramente, vou adaptar esse exercício para uma situação com mais variáveis, aumentando o número de portas, talvez guardas. Para ficar mais evidente o Método do Isolamento.

É um exercício muito bom mesmo, mas muito, para trabalhar lógico. Pois realmente, não foi do dia para noite - no meu caso - que consegui resolvê-lo. Demorou várias horas. E o maior desafio, e o mais legal, é meter a mão na massa, tentar e tentar, e por conta própria, sozinho, resolver esse enigma. Pois, se essa foi a primeira vez que se deparou com esse exercício, e leu toda resolução, lamento, pois não vai ter a sensação de resolvê-lo sozinho. Mas é ótimo para mostrar aos amigos, alunos, entre outros, vê-los quebrar a cabeça. Para alguns, mesmo você dando a resposta (a pergunta), eles ainda travam, pois demoram um tempo para perceber como ela lhe dá a porta procurado. Mas de fato, o problema mesmo, está em descobrir a pergunta. Te conselho a esquecer esse problema, deixar de falar e pensar nele por um bom tempo, alguns meses quem sabe, anota na sua agenda, e aí nesse dia, quando praticamente não lembrar muito bem qual era a pergunta, a solução e tals, tentar resolvê-lo.

Ah! E se for passar essa questão para alguem. Não lhe informe sobre esse blog, não dê a referência. Pois aliás, a origem mesmo desse exercício não conheço. Peguei de uma lista de um professor lá no IME-USP. Donde ele pegou? Não sei.

Números Primos Descobertos

Em 2008 dois números primos enormes foram descobertos com a ajuda de computadores. Ah sim, um número primo é indivisível no sentido que não tem nenhum número natural que o divida sem deixar resto exceto ele mesmo ou o um.

Os novos números primos descobertos neste ano têm a forma 2^p – 1, (dois elevado à potência p menos um) onde p é um número primo e são conhecidos por primos de Mersenne, em homenagem ao matemático que estudou estes números inicialmente. É bom ressaltar que nem todo número desta forma é primo e nem todo primo tem esta forma.
Bem, os números primos são

descobertos (confirmados) no dia 06 de Setembro e 23 de Agosto de 2008 respectivamente. Não tente escrever estes números em sua calculadora pois eles têm mais de dez milhões de dígitos! O primeiro acima tem 11,185,272 e o segundo 12,978,189 dígitos.
Aliás, a descoberta do primeiro número primo com mais de 10 milhões de dígitos vai receber o prometido prêmio de US$ 100000 (cem mil dólares) da Electronic Frontier Foundation. Read more at Mersenn Prime Search.

Aprenda a matemática dos números de Mersenne.


Fonte: Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira (Unicamp)

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Nota: Alguns leigos podem questionar a utilidade disso. Mas números primos são importantissimos. Devido a sua propriedade de apenas ser divisivel por ele mesmo e por 1; isso gera uma gama de possibilidades, assim como trabalhar com seus restos para com divisões por outros números. Através disso, uma das maiores utilidades é gerar CÓDIGOS, cadeias de criptografia, senha, chaves - como preferir. E a grande maioria dos principais sistemas de segurança informatizado usam tais. Há empresas, acadêmicos, pesquisadores, que literalmente VENDEM números primos; brutalmente grandes e dificeis de serem descobertos; para empresas de segurança. E bem, se o frano vai receber 100mil dólares por ter descoberto um numero primo tão grande assim... imagine quais devem ser os valores da venda desses números...

Outro fato importante, é que ainda, os matemáticos não conseguiram encontrar nenhuma lógica, fórmula, método, que gere um número primo. Por exemplo, para gerar um número ímpar, usamos: n(k) = 2k + 1 (k e N). Assim é fácil gerar qualquer número par. Mas e para um número primo? É um dos problemas do século, muitos desenvoveram teses em cima disso, há uma corrida enorme. E quem descobrir, poderá ficar muito milhonário. Pois sabento tais, será possível saber todos os números primos, assim, todas as chaves de segurança. Ou seja, poderá ocorrer o maior golpe, roubo financeiro e de informações da História, ou a maior revolução e mudança quanto a Indústria do Código de Segurança.

Regra da Cadeia - Demonstração

Provando Regra da Cadeia para uma função de duas variáveis, nos reais.

Teorema:

Se é diferenciável em t0 , tal que pertence:




E f é diferenciávem em


Então


é diferenciável em t0 e


(Regra da Cadeia)


Prova:










(ver definição de vetor gradiente)

Agora...






Definido essas expressões (formando uma função composta: h(t)-h(t0). Então por definição de derivada, quero mostrar que:





Então, dividindo a expressão h(t)-h(t0) por t – t0, temos:













Provado

Obs.: O mesmo método pode ser utilizado para provar, ou demonstrar, a Regra da Cadeia para uma função em Rn, ou seja, de modo, a poder conter 3 ou mais variáveis. Apenas precisará fazer algumas adaptações.

Provando o Ponto Médio ou Mediana - GA

Provando por meio de Geometria Analitica (GA) algo, aparentemente, bem óbvio: Ponto Médio, ou Mediana, em R³.

Teorema: Seja A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2), o ponto médio do segmento AB é dado por:




Prova / Demonstração:






Sendo o ponto M o vetor (a,b,c)

Logo, o segmento AM equivale a metade do AB, pois essa é a definição do ponto médio, ou mediana, entre dois pontos. Então:

Partindo para a Geometria Analítica temos, a seguinte expressão vetorial:




Logo:

Integral Dupla Cabulosa

Uma integral complicada de se calcular... Uma integral dupla, contudo, o problema em si, é encontrar a primitiva destacada. Tentei várias e várias coisas, mas não tive exito em encontrar a primitiva. O único modo que consegui, foi usar a própria "arcsenhx", pois sua derivada é 1/sqrt(1+x²).

Mas depois me complicava todo para fazer a outra integral. Tentei muitas coisas. Apesar de estar meio travado em integral, não estou tão hábil quanto quando aprendi técnicas de integração no Cálculo 2. Tentei subistuir por várias coisas, até tentei usar uns arcos, u=tg(x/2). Bem, foram. E no fim, o melhor que pude fazer, fora limitando o resultado. Retirei o 1 de dentro da raíz, e usei um polinômio de Taylor para dar uma margem de aproximação do resultado.

A questão mesmo era:

a) Calcule f(a)

b) Calcule f'(a)

Essa questão caiu na prova, ontem, de Cálculo para funções de várias variáveis II (equivale ao Cálculo 4), no IME-USP. Detalhe, era uma prova com consulta. Mesmo com o livro do Stewart v.2 (acho que precisava do 1 nessa hora rs), o caderno etc. Não ajudou em NADA! A integral estava bem resistente de ser resolvida.

Aquele que tiver alguma sugestão, ou solução, para resolvê-la, por favor, expresse-se. Fiquei intrigado. Estou curioso para resolvê-la. Ah sim!, para encontrar a primitiva, não pode esquecer do intervalo, pois é a integral de [y,a].