Regra da Cadeia - Demonstração

Provando Regra da Cadeia para uma função de duas variáveis, nos reais.

Teorema:

Se é diferenciável em t0 , tal que pertence:




E f é diferenciávem em


Então


é diferenciável em t0 e


(Regra da Cadeia)


Prova:










(ver definição de vetor gradiente)

Agora...






Definido essas expressões (formando uma função composta: h(t)-h(t0). Então por definição de derivada, quero mostrar que:





Então, dividindo a expressão h(t)-h(t0) por t – t0, temos:













Provado

Obs.: O mesmo método pode ser utilizado para provar, ou demonstrar, a Regra da Cadeia para uma função em Rn, ou seja, de modo, a poder conter 3 ou mais variáveis. Apenas precisará fazer algumas adaptações.