Uma integral complicada de se calcular... Uma integral dupla, contudo, o problema em si, é encontrar a primitiva destacada. Tentei várias e várias coisas, mas não tive exito em encontrar a primitiva. O único modo que consegui, foi usar a própria "arcsenhx", pois sua derivada é 1/sqrt(1+x²). 
Mas depois me complicava todo para fazer a outra integral. Tentei muitas coisas. Apesar de estar meio travado em integral, não estou tão hábil quanto quando aprendi técnicas de integração no Cálculo 2. Tentei subistuir por várias coisas, até tentei usar uns arcos, u=tg(x/2). Bem, foram. E no fim, o melhor que pude fazer, fora limitando o resultado. Retirei o 1 de dentro da raíz, e usei um polinômio de Taylor para dar uma margem de aproximação do resultado.
A questão mesmo era:
a) Calcule f(a)
b) Calcule f'(a)
Essa questão caiu na prova, ontem, de Cálculo para funções de várias variáveis II (equivale ao Cálculo 4), no IME-USP. Detalhe, era uma prova com consulta. Mesmo com o livro do Stewart v.2 (acho que precisava do 1 nessa hora rs), o caderno etc. Não ajudou em NADA! A integral estava bem resistente de ser resolvida.
Aquele que tiver alguma sugestão, ou solução, para resolvê-la, por favor, expresse-se. Fiquei intrigado. Estou curioso para resolvê-la. Ah sim!, para encontrar a primitiva, não pode esquecer do intervalo, pois é a integral de [y,a].
[(a^2+1)ATAN(a)+a]/2a^2+2 - [(y^2+1)ATAN(Y)+Y]/2Y^2+2
ResponderExcluirint. by part u'*v, u=Y/2
[(4a^2+4)ATAN(a)-((a^2+1)*pi-4a)]/8a^2+8
ATAN = arctg = tg^(-1) ?
ResponderExcluirrapaz, fazendo a primeira integral em x fica : arcsenh a - arcsenh y !
ResponderExcluirai integrando isso ai em relação a y fica, y . arcsenh a -arcsenh y . y + (y²+1)^(1/2).
tipo pra calcular a integral de (arcenh a) dy nao tem duvida neh?
e pra calcular a integral (arcsenh y)dy é só usar integração por partes!
abraço!
quero uma solução sem usar arcsenh, nem senh, cosnh...
ResponderExcluire quero a derivada tambem.
Fazendo (1+x^2)^(-1/2) e integrando obtemos [(1+x^2)^(1/2)] / (1/2)
ResponderExcluirque é igual a:
2*[(1+x^2)^(1/2)] de a até y
2*[(1+a^2)^(1/2)]-2*[(1+y^2)^(1/2)]
Integral de zero até 1 de 2*[(1+a^2)^(1/2)] = 2*[(1+a^2)^(1/2)]
Integral de zero até 1 de
-2*[(1+y^2)^(1/2)] =
-4/3 *[2*sqrt(2) -1 ]
f(a) = 2*[(1+a^2)^(1/2)] +
-4/3 *[2*sqrt(2) -1 ]
e a sua derivada seria não esquecendo do produto interno a^2 que é 2*a:
1/2 *2*(1+a^2)*2a =
2*a* (1+a^2)^(-1/2)
Não sei se isso é possível, mas eu tentei. Talvez haja algum erro,revise e boa sorte.
ResponderExcluirEncontrei um erro aqui faltou elevar (1+a^2) a -1/2, mas embaixo já está certo, apenas no desenvolvimento:
ResponderExcluir1/2 *2*(1+a^2)*(-1/2)*2a =
2*a* (1+a^2)^(-1/2)
Usa x=1*senh(t) eu acho que é mais fácil.
ResponderExcluirÉ que não se deve usar hiperbólicos para resolvê-lo, no caso.
ResponderExcluirO meu brother conseguir fazer a primeira integral em relação a integração de dy... estou te seguindo entra no meu blog e deixa contato ou no meu site tb... vou digitar em latex o que fiz e te passo mais vou tentar resolver ela por completo, a primeira integração vc tem usa uma técnica chamada substituição trigonometrica, beleza sai fácil... um grande abraço Luiz Fernando!
ResponderExcluirhttp://luizaulaparticular.blogspot.com/
A integral de 1/raiz(1+x²) é ln|x+raiz(1+x²)|
ResponderExcluirconsidere
x = tan(t), logo
dx = sec²(t)d(t)
logo raiz(1+x²)=raiz(1+tan²(t))=sec(t)
int(1/raiz(1+x²))=int(sec(t)dt/sec²(t)dt)
int(sec(t))=ln|sec(t)+tan(t)|
=ln|raiz(1+x²)+x|