Confusão no troco

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Confira aqui este post:
http://razaok.blogspot.com/2009/08/confusao-no-troco.html

O Problema das Portas

Essa é uma questão de lógica nada óbvia; é preciso trabalhar e pensar um pocado para solucioná-la; ao mesmo tempo, bem desafiadora. E o particular dela, é que até mesmo para o ginásio ela é cabível.

The Question

Num corredor há 100 portas fechadas e 100 mulheres. A primeira mulher passa pelo corredor abrindo todas as portas. A segunda mulher passa pelo corredor abrindo apenas as portas pares. A terceira mulher, abre apenas as portas que é multipla de três. Então vem a quarta mulher e repete o mesmo processo, até a última porta. Quais as portas que ficaram abertas ao passar a última mulher? E caso o número fosse 1000 portas e mulheres.

Comentários

O primeiro problema está na lógica do texto. Demorou um pouco e tive que consultar o professor Oscar João Abnaour (disciplia "Seminário de Resolução de Problemas", IME-USP), para realmente estar certo da lógica do problema.

A mulher 1, inverte (fechado / aberto) multiplo de 1.

A mulher 2, inverte (fechado / aberto) multiplo de 2.

A mulher 3, inverte (fechado / aberto) multiplo de 3.

A mulher 4, inverte (fechado / aberto) multiplo de 4.

A mulher 5, inverte (fechado / aberto) multiplo de 5.

...

A mulher 100, inverte (fechado / aberto) multiplo de 100.

Geral:

A mulher k, inverte (fechado / aberto) multiplo de k.

Até onde cheguei

Depois de muito quebrar os miolos, consegui chegar numa regra geral para descobrir se a porta no final será aberta ou fechada:

"A porta k, se k = "n. primo", será fechada no final. As portas que k não é primo, se ela possuir um número de divisores (de modo a ser divisível) pares, no final ela vai ser aberta; se impar, será fechada. Exceto a porta 1, a qual será aberta."

Tal resolução verbal está 100% correta. O problema é que ela é insuciente para determinar no final a quantidade de portas abertas; pois necessitaria ver cada caso. E se fossem mil portas, seria chato para dedel. Caso fosse resolver isso usando um programinha bem simples em C, seria fácil. Mas certamente, o que falta é obter-se uma expressão mais profunda de como trabalhar com tal lógica; a apenas informar um número de portas e mulheres, e então o resultado seria o número de portas abertas.

Comecei a trabalhar depois com a idéia de MMC e MDC; o problema é que tais tralham, em essência, com números primos. Mas até hoje ninguém conseguiu descobrir uma fórmula, uma definção algébrica dos números primos; se você conseguir, vai ganhar um prêmio MIT de 2 mulhões de dólares. Portanto, certamente há um outro caminho; não sei qual. Mas uma amiga percebeu alguma coisa com cara de combinação, e está escavando por essas terras.

Ainda não cheguei numa solução. Mas o desafio, lançado está, para o leitor.

Zero é número par? - Pares, impares e neutros.

Esses dias algumas pessoas me questionaram quanto a paridade do zero dizendo para provar que ele é par. Bem, é uma questão no minimo legal. Então colocarei aqui vários ambitos de análise e o resultado obtido em cada um deles.

Definição de Par e Ímpar

Par

n = 2k

Impar

n = 2k + 1

Tal que n, k є I.

Então, caso fosse impar:

0 = 2k + 1

k = - 1/2 (absurdo)

Logo, k é par:

0 = 2k

k = 0

Propriedade da Soma

A soma de números iguais, em módulo, é sempre par.

par1 + par2 = par

I) -2k - 2k = 2(-2k) = 2n

II) 2k + 2k = 4k = 2(2k) = 2n

III) 2k - 2k = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0

impar1 + impar2 = par

I) -2k - 1 - 2k - 1 = -4k - 2 = 2(-2k - 1) = 2n

II) 2k + 1 + 2k + 1 = 4k + 2 = 2(2k + 1) = 2n

III) 2k + 1 - 2k - 1 = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0

Não existe uma soma de resultado impar que se resulte em zero.

Divisibilidade

Uma definição também para par é que o número é divisivel por 2.

Pois n = 2k, logo n/2 = k

0 = 2.0

0/2 = 1.0 = 0

ou seja:

0/2 = 2.Inteiro + zero de resto

- Caso fosse impar isso se resulta em absurdo.

n = 2k + 1

0/2 = 2. Inteiro + 1 de resto

0 = 4.k + 2

4k = -2

k = -1/2 (absurdo)

A Soma de 2 Números Pares

Como já visto, a soma de dois números pares é sempre par.

E a soma de dois números impares é sempre par também.

2 números pares

0 + 2k = 2k

0 + 8 = 8

2 números impares

0 + 2k + 1 = 2k + 1

0 + 1 = 1

(logo é uma soma de um par com um impar)

- aqui também fica a questão da propriedade do elemento neutro das aditivas.

- consequencia dessa propriedade, multriplicação de pares por impares se resulta em par.

Multiplicação Par x Impar

2k.(2y + 1) = 4ky + 2 = 2(ky + 1) = 2n

Logo,

0.impar ou 0.par = par

Pares Perfeitos

Números pares são números que correspondem a uma associação igual entre dois números sem ter resto.

Ou seja, podemos representar da seguinte forma:

7 = / / / / / / /

Pegando seus pares e os removendo, ou seja, dividindo por 2. Temos traço sem par, ou seja, houve o resto de 1.

4= / / / /

Assim, se tem 2 pares e com resto zero.

0 = ?

Aí entra um problema, pois não há pares em zero; porém o resto é zero. Mas não há o par.

Logo, nessa definição zero não é par. Ou seja, quando se tem o número associado como quantidade o zero é puramente neutro e não adquire propriedade como par, nem impar.

Confusão de Conceitos

Talvez a grande questão que leva a confusão seja um problema quanto alguns conceitos quanto as caracteristicas de um número.

Característica 1: Conjunto

Um número pode ser Racional ou Irracional, num dominio Real.

Característica 2: Primaridade

Número primo são os números que apenas são divisiveis por 1 e por ele mesmo. Até hoje não se encontrou uma equação ou formulação certa para isso.

Quanto a isso, os números são classificados como primo ou não-primo.

Característica 3: Opostos/Inversos e Neutros

Neutro = associação de opostos ou inversos

0 = 1 + (-1)

0 = 4 + (-4)

1 = 2^0 = 2/2 = 1 = 2.(1/2)

1 = 7^0 = 7/7 = 1 = 7.(1/7)

Característica 4: Pariedade

Números divisiveis por 2 são pares.

Ou seja, um número pode possuir uma ou mais caracteristicas. E não se pode dizer assim, se ele tem a caracteristica de neutro então não pode possuir outra. Caso fosse assim. Se o (-2) é oposto de 2, então não podemos dizer que ele é par?

Quocientes, númeradores e restos

Vamos pensar no 4,4 no 2,2 e no 1,1. Eles são pares?

No conjunto dos racionais são, no dos inteiros não?

4,4 : 2 = 2,2 + 0

Ou seja, resto 0? Não. Pois 4,4 / 2 = 2 + 0,2

2,2 / 2 = 1,1 + 0

É assim? Ou é 2,2 / 2 = 1 + 0,1 ?

1,1 / 2 = 0,55

Um dos problemas é que muitos esquecem que decimais são frações, não é um resto zero. Ou então, associam qualquer número com finais (a última casa à direita) 0, 2, 4, 6 e 8 como sendo par. Em geral, são alguns vicios de se trabalhar com tais algarismos pares, de modo a identificar o número como par devido a isso. E com isso, é comum olhar números pares com final zero, como 10, 50, 100, e, devido a isso, considerarem o zero como sendo um número par. Sim, se pode dizer que quando o ultimo algarismo do número for par, o número é par; mas afirmar que devido a isso o zero é par; é esquecer da propriedade do que define um número sendo par. Porém, esquecem de uma propriedade de dizima periódica: Qualquer número racional tem dizima periódica.

Tanto o 3 quanto o 3,3 quanto o 3,33...

3 = 3,0000000000000000000... (dizima em zero)

3,3 = 3,3000000000000000000... (dizima em zero)

3,33.... = 3,3333333333333333333... (dizima em 3)

- Algum deles é par? E os seguintes?

2 = 2,0000000000000000000... (dizima em zero)

2,2 = 2,2222222222222222222222... (dizima em dois)

2,22222222222222 = 2,222222222222220000000... (dizima em zero)

Pois muitas vezes se faz uma confusão quanto a diferenciar o que é parte inteira e parte decimal. Exemplos:

2,2 = (2 + 0,2) = 2 + 2.10^(-1) = 2 + 2/10

Tem a parte inteira e a parte decimal. A parte inteira pode ser classificada se é par ou impar. A parte decimal não, nela, apenas podemos dizer qual algarismo é par ou impar.

0,5 é par?

e

1/2 é par?

e

5/10?

10/20?

40/80?

Percebeu qual é realmente o significado de número inteiro e de resto zero? O que se deve levar conta para considerar o zero como par?

A Régua

Por fim, um exemplo simples. Numa reta, os pontos representam sua posição no espaço. Quanto as casas dos centimetros. Sempre segue uma ordem par, impar, par, impar... contatos a partir de uma referência. A regua começa normalmente com 0, 1, 2, 3, 4, ... (par, impar, par, impar...). Apenas no 1 se tem a unidade. Logo toda unidade tem tamanho 1. Como é impar, é uma associação de um par com um impar: par - impar = 1

1 - 0 = 1

2 - 1 = 1

3 - 2 = 1

Agora mude a régua. Arraste de modo que a régrua seja: -1, 0, 1, 2, 3, ... (e aí mudou alguma coisa?) Não, a propriedade continuou igual. Note que a ordem contiuna: (impar, par, impar, par...) É o algarismo que representa se é par ou imparO ponto zero representa a unidade 1. Ou seja, continua a mesma história, do tamanho, do módulo:

0 - (-1) = 1

par - impar = impar

1 - 0 = 1

Questões para ficar careca

1) Pense no 0,999... (dizima em 9) e no seu oposto. Ambos são zero, certo? E tais, são pares ou impares?

2) Entre dois números irracionais sempre há um racional? E entre dois racionais, sempre há um irracional?

3) No conjunto dos Reais, qual é os números (infinitamente) a direita e a esqueda de zero, são pares ou impares? Racionais ou irracionais? O zero pode ser um irracional?

4) Na fatoração. Porque não se faz: 5.4.3.2.1.0! ? Sem levar em conta, a primeira vista, que qualquer fatorial seria igual a zero.

5) Por que ocultam-se os zeros do Triangulo Aritmético (de Pascal)?

6) Demonstre o absurdo de se dizer que algum número é divisivel por zero. E que 0^0 = 1.

7) Dê o conjunto solução de "par" dividido por "par". E - sabendo o que é par e impar - pode-se dizer que toda fração racional não-par é impar?

Exercício de Lógica - O Prisioneiro

Um exercício muito 10 mesmo e bem dificil, aparentemente, é aqueles do tipo "O Prisioneiro", no qual é preciso pensar na resposta, de modo a obtê-la por isolamento; pois diretamente, não há como. E a estrutura da linha de raciocinio para desenvolver a resolução, não deve ser do Inicio para o Fim, mas do Fim para o Inicio. Ou seja, pensando na resposta, para elaborar a pergunta e o meio.

O Prisioneiro

No antigo Egito, havia um prisioneiro numa cela com duas saídas, cada uma delas com um guarda. Cada saída dava para um corredor diferente em que um dava para o campo e, portanto, para a liberdade e o outro para um fosso de crocodilos. Só os guardas sabiam qual a saída certa, mas um deles dizia sempre a verdade e outro mentia sempre. O prisioneiro não sabia nem qual a saída certa nem qual o guarda verdadeiro. Qual a pergunta (e uma só pergunta) que o prisioneiro deveria fazer a um dos guardas ao acaso, para saber qual a porta certa?


Resolução

Por onde partir? Essa é a primeira dificuldade encontrada, pois o texto, parece não apresentar nenhuma informação tendenciosa, que indica, que elabora uma sequencia, um caminho.

Em primeiro lugar vamos dar alguns nomes lógicos:

Porta para liberdade: A
Porta para a morte: B
Guarda{verdade} : V
Guarda{Mentira} : M

Então, vamos usar o método pelo qual se deve usar, em geral, quando é um problema em que se deve descobrir "seu inicio"(no caso, a pergunta); vamos partir do FINAL:

"A resposta que queremos é A. Vamos descobrir A. Mas como?"

[é possível, também, querendo encontrar B; pois no final, tanto faz, para solucionar, qual é a porta. Mas se fosse para várias opções, tem que ser assim mesmo.]

Se não há nenhum indicativo, nenhum caminho apontado, nenhuma direção apontada pelos dados. Vamos usar o método do "Isolamento" (fica mais claro quando se possui mais do que 2 opções, mas no caso, apenas {A, B}). Ou seja, para descobrir A, vamos descobrir B, e assim, retirá-lo do caminho, desse modo, apenas sobrando A.

Então, para descobrir B, vamos descobri-lo. Como? Agora, vamos usar a ferramenta: "Os guardas". Sabemos que um guarda diz a verdade e outro a mentira. Então, queremos, que ambos apontem para B.

Logo:
V → B
M → B

O problema é o M, pois se dissermos para ele "Qual é a porta errada? Ou a certa?" Ele dirá o contrário. Então, precisamos colocar um processo a mais, de modo a reverter o processo. Ou seja, busque saber "a mentira", pois assim, você saberá, no caso do M, qual é A. Então, coloque um processo a mais, de modo a continuar que V, continue apontando para B, pois se quer descobrir B:

V → B
M → A = B

Opa! Aí as coisas começam a ficar mais claras. Tipo.. Isole B, e veja o que ocorre:
B = M → A

Subistitua no processo de V. Então temos:

I) V → M → A
II) M → A = B

Bem, a bem clara agora. Em I, temos uma estrutura do tipo:
A é retornado a V por meio de M.
ou
V, retorna A, por meio de M. (e, sei que isso é B).

Ok. Então a estrutura está pronta para o caso I, ou seja, quando se for perguntar para V, o guarda da verdade. Mas para B, ainda não está pronta. Pois pode ser tanto:

M → A = B
como
M → B = A

E aí, não tem como saber. Portanto, queremos o primeiro caso: M → A = B
Pois, como queremos isolar o B - visto que é isso que definimos - e já temos isso para I (na pergunta para V). O que se deve fazer, é FORÇAR um caso: "M → A".

Mas como?
Bem, vamos usar um fato não usado até agora.
Se V, sempre diz a verdade. Então:
V → A = A

Ou seja, V sempre vai retornar a verdade. Isso é bom, pois assim, podemos saber como adquirir A, de modo forçado, constante, sempre, absoluto. (veja a semelhança disso, para alguns passos anteriores).

Então podemos substituir A em II.
M → (V → A) = B

Então, por fim temos:

i) V → M → A = B
ii) M → V → A = B

Opa. Agora a coisa ficou já estruturada e bem clara. Agora, só é preciso trabalhar na pergunta.
Bem, temos a seguinte linha de lógica para os dois casos:
i) V, me retorne A por meio de M.
ii) M, me retorne A por meio de V.

Então há uma fórmula bem clara:
"P2, me retorne A por meio de P3"

Sendo:
- P2, a segunda pessoa (com quem você está falando).
- P3, a terceira pessoa (a referência, o meio o qual retornaria A).

Contextualizando o enunciado, P2 é o guarda com quem você irá falar, A, a porta da liberdade, e P3, o outro guarda. E como, P2 é aleatório, ao acaso, tudo bem; para ambos o caso a resposta está isolada, definida, prevista - "B".

"P2, me retorne A por meio de P3." Está numa forma de ordem. Vamos transformar isso em pergunta. E pensando um pouco, textando um e adaptando, ou talvez de primeira. Você irá desenvover uma pergunta semelhante a essa:

PERGUNTA:

"Guarda, qual a porta que o outro guarda me diria ser a que conduz a liberdade?"

E assim, se tem a pergunta (a solução do exercício). Mas antes de encerrar, vamos fazer um teste e analisar.

VERIFICAÇÃO

Caso 1: A pergunta é feita a V.

"V, qual M me diria ser A?"
Como, M mente. Então V responderia: "B".

Caso 2: A pergunta é feita a M.

"M, qual V me diria ser A?"
V fala a verdade, mas M vai mentir o que V disser. Ou seja, V, responderia "A". Então M responde: "B".

Conclusão: Por fim, seja qual for o guarda a quem é dirigido a pergunta. Eu sei qual é B. E se eu sei qual é B, eu sei qual é A. Ou seja, posso sair para a liberdade quando quiser.

_______

Nota: Veja como é incrivel a matemática. De inicio, a Probabilidade de escolher A, era de 1/2 (meio). Ou seja, 50% de chance de viver ou morrer. Mas deu uma chance para o cara, analisar bem a situação, possibilidades. E ele conseguiu reverter a situação para uma probabilidade igual a 1 (vai acertar e ponto final).

Acho, que futuramente, vou adaptar esse exercício para uma situação com mais variáveis, aumentando o número de portas, talvez guardas. Para ficar mais evidente o Método do Isolamento.

É um exercício muito bom mesmo, mas muito, para trabalhar lógico. Pois realmente, não foi do dia para noite - no meu caso - que consegui resolvê-lo. Demorou várias horas. E o maior desafio, e o mais legal, é meter a mão na massa, tentar e tentar, e por conta própria, sozinho, resolver esse enigma. Pois, se essa foi a primeira vez que se deparou com esse exercício, e leu toda resolução, lamento, pois não vai ter a sensação de resolvê-lo sozinho. Mas é ótimo para mostrar aos amigos, alunos, entre outros, vê-los quebrar a cabeça. Para alguns, mesmo você dando a resposta (a pergunta), eles ainda travam, pois demoram um tempo para perceber como ela lhe dá a porta procurado. Mas de fato, o problema mesmo, está em descobrir a pergunta. Te conselho a esquecer esse problema, deixar de falar e pensar nele por um bom tempo, alguns meses quem sabe, anota na sua agenda, e aí nesse dia, quando praticamente não lembrar muito bem qual era a pergunta, a solução e tals, tentar resolvê-lo.

Ah! E se for passar essa questão para alguem. Não lhe informe sobre esse blog, não dê a referência. Pois aliás, a origem mesmo desse exercício não conheço. Peguei de uma lista de um professor lá no IME-USP. Donde ele pegou? Não sei.

Provando o Ponto Médio ou Mediana - GA

Provando por meio de Geometria Analitica (GA) algo, aparentemente, bem óbvio: Ponto Médio, ou Mediana, em R³.

Teorema: Seja A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2), o ponto médio do segmento AB é dado por:




Prova / Demonstração:






Sendo o ponto M o vetor (a,b,c)

Logo, o segmento AM equivale a metade do AB, pois essa é a definição do ponto médio, ou mediana, entre dois pontos. Então:

Partindo para a Geometria Analítica temos, a seguinte expressão vetorial:




Logo:

Integral Dupla Cabulosa

Uma integral complicada de se calcular... Uma integral dupla, contudo, o problema em si, é encontrar a primitiva destacada. Tentei várias e várias coisas, mas não tive exito em encontrar a primitiva. O único modo que consegui, foi usar a própria "arcsenhx", pois sua derivada é 1/sqrt(1+x²).

Mas depois me complicava todo para fazer a outra integral. Tentei muitas coisas. Apesar de estar meio travado em integral, não estou tão hábil quanto quando aprendi técnicas de integração no Cálculo 2. Tentei subistuir por várias coisas, até tentei usar uns arcos, u=tg(x/2). Bem, foram. E no fim, o melhor que pude fazer, fora limitando o resultado. Retirei o 1 de dentro da raíz, e usei um polinômio de Taylor para dar uma margem de aproximação do resultado.

A questão mesmo era:

a) Calcule f(a)

b) Calcule f'(a)

Essa questão caiu na prova, ontem, de Cálculo para funções de várias variáveis II (equivale ao Cálculo 4), no IME-USP. Detalhe, era uma prova com consulta. Mesmo com o livro do Stewart v.2 (acho que precisava do 1 nessa hora rs), o caderno etc. Não ajudou em NADA! A integral estava bem resistente de ser resolvida.

Aquele que tiver alguma sugestão, ou solução, para resolvê-la, por favor, expresse-se. Fiquei intrigado. Estou curioso para resolvê-la. Ah sim!, para encontrar a primitiva, não pode esquecer do intervalo, pois é a integral de [y,a].

Ensino da Matemática - Experiências

O trabalho prático, no qual se está executando a tarefa e sobretudo de modo investigativo, buscando encontrar respostas, certamente é um dos métodos mais didáticos para o auto-aprendizado e para o desenvolvimento do músculo.

Imagina a cena em que um homem iletrado adquire o trabalho de construir uma pequena torre usando apenas bambu e sisal (uma pioneiria interessante, certamente) e então ele inicia o seu trabalho. Certamente a primeira vez será incrível em níveis de tentativas e erros, análises. Coloca uma coisa ali e vê se dá certo ou não, ou o que acontece. E com o tempo todas aquelas informações são registradas na memória, um senso crítico se desenvolve sobre a questão. E certamente, depois de muitas tentativas ele consegue fazer uma pequena torre simples.

Bem, então é dado uma segunda construção para ele fazer. Uma torre de bambu, mas que deve conter pelo menos 5m de altura e em seu topo uma plataforma que consiga sustentar o peso de duas pessoas. Então dessa vez será um quebra-cabeça para o construtor. Talvez uma altura maior que a anterior, e nisso perceberá que as suas amarras não eram firmes o suficientes e nisso ele pode buscar tentar desenvolver uma modo mais firme de fazer as amarras, ou então ir “buscar” o conhecimento que já existe sobre amarras, e então pode adquiri-lo, treiná-lo e apreender através da prática. Também desenvolverá modos para subir na torre. E certamente fará testes e buscará modos para se construir tal plataforma que atenda as condições.

Após esse trabalho recebe mais uma: Uma torre de 7m com uma polia que suporta até 100 kg de carga e além disso, fazer um “projeto”, isso é: estimar a quantidade de bambus que será usado, quantidade de cordas, material, a forma da torre e o tempo. Isso certamente é muito mais difícil, algo inteiramente inédito. Para começar iria buscar entender o que é uma polia, como funciona, as regras funcionais, e construiria um modelo em tamanho real ou escalar numa pequena altura para testar. Certamente iria tentar fazer algo em escala, desenhar algo, buscar “precisões”; moldes, desenhos; nisso, iria acabar desenvolvendo um pouco de matemática ou apreendo-a, principalmente uma regra de três, multiplicações, divisões; contudo, difícil imaginar que iria pensar em Geometria Analítica, vetores, tensão, integrais de linhas, derivadas parciais, momento angular, centro de massa. Mas com muito esforço iria conseguir fazer um modelo e construir.

Bem, precisamos usar tal método para aprender muitas coisas. Em especial para com a matemática. Infelizmente, em geral, hoje o sistema se prende ao teórico, as regras de sintaxe, gramaticais, algorítmicas; mas não buscando levar e mesclar tal com o desenvolvimento prático e intelectual, em nível de produzir um senso crítico, analítico, dedutivo e lógico. Os músculos responsáveis pelo exercício da matemática ficam atrofiados, não se desenvolvem. E claro, que uma pessoa que nunca fez flexão na vida, aos 16 anos não irá achar nada divertido fazer 30 flexões.

Uma sugestão que dou aos pais, educadores, professores e para a mente pensante em geral, aquele que busca desenvolver a matemática. É brincar de “construir torres” com a matemática visando trabalhar com os músculos do raciocínio dedutivo e lógico. E consequentemente, com isso, desenvolver também a parte gramatical, algorítmica e sintática da linguagem matemática.
Exercícios de lógica é uma boa. Xadrez não, pois é algo avançado, e a pessoa teria que estudar bem a coisa, para não apenas jogar, mas jogar de forma estratégica. Sodoku, puzzles entre tantos outros. Mandar projetar e construir algo simples e depois coisas mais sofisticadas. Que tal projetar uma mesa para o seu quarto? Buscar medir a quatidade usada de água num minuto no banho, de modo a formar uma tabela indicando o tempo de uso e a quantidade. Construir uma balança para medir coisas até 10kg, com precisão de 50g. Basta começar imaginar situações no dia-dia que ao invés de “sedentarizar” a coisa, poderia usá-la para o aprendizado e desenvolvimento físico e mental do individuo.

E aqui vão algumas sugestões em vários níveis de coisas interessantes e algo para desenvolver esse raciocínio, em que uma pessoa de nível de segundo grau certamente teria capacidade para conseguir alcançar tais objetivos.

1. Montar uma função data, f(x), em que x = número de dias. De modo que por resultado se saiba o ano, mês, dia do mês, e dia da semana, de forma precisa. Por exemplo: Hoje é dia 28, quinta-feira, de agosto de 2008, daqui 265 dias quando seria?
2. Pegar o algoritmo da multiplicação e da divisão e desenvolvê-lo. Como se chega em tal? Por que funciona?
3. Medir o tamanho das árvores e postes na sua rua, sem subir nelas.
4. Descobrir as velocidades confortáveis e máximas para cada marcha numa bicicleta.
5. Qual a probabilidade da Mega-sena e fazer comparações de modo a equivaler vários tipos de jogadas e combinações com dados.
6. Descobrir o que é mais pesado entre terra, areia, cimento, barro, e vários farelos; quantificar a densidades de tais na água.
7. Descobrir qual é as medidas e razões que há entre os intervalos das notas no braço do violão.
8. Contar o número de passageiros num ônibus ou vão, marcar os pontos de saída de tais. E depois buscar quantificar a distância que tal transporte poupou para eles, e num geral, e de tempo, fazer médias, com número de pessoas e de ônibus semelhantes. E nisso buscar compreender um pouco de senso da logística de transporte.
9. (para alguém que não aprendeu Progressão Aritmética) Dar-lhe a tarefa de contar uma soma de [1, 1000]. Do tipo: “1 + 2 +3 +4 + 5 + ... + 1000 = ?” E desafiá-lo a tentar encontrar um padrão nessa soma e assim desenvolver uma forma de encontrar esse resultado com poucas contas.
10. Tomar por base o tamanho de alguns tijolos e estipular a quantidade que deve ter sido usado para construir as paredes da sua casa.
11. Construir uma pequena catapulta balística de modo a conseguir lançar fubécas e pequenos objetos. Buscar tentar quantificar esses lançamentos, e entender a mecânica da coisa. E depois tentar construir um outro aprimorado na mesma escala, mas conseguindo lançar o objeto mais longe. E colocar marcadores de modo que consiga prever onde que é o objeto cairá.
12. Formular uma equação para descobrir o número de triângulos contidos num triângulo maior, em função do número de triângulos na base, de modo que todos sejam eqüiláteros. (ver a figura tema) E buscar variações, como quantos de ponta para cima, de ponta para baixo? Quantos conteria em cada andar? Qual seria o perímetro total para todos os triângulos de lado 1? Etc. (esse é muito bom)
13. Pegar gravetos de vários espécimes de árvores e tentar quantificar (talvez com indicadores e escalas próprias) o índice de resistência de cada um para peso, envergadura, torção, corte; qual o seu peso, flutuabilidade, durabilidade até começar a apodrecer...
14. Construir um relógio solar. Um relógio do tipo ampulheta. E escalar as horas, ou minutos, segundos.
15. Tentar encontrar algum padrão entre os números primos de forma a poder prevê-los. (esse é um dos grandes problemas da matemática, e certamente, se você conseguir, receberá milhões ($) ).
16. Descobrir a matemática nas notas musicais e escalas, como funciona um afinador. E desenvolver um instrumento com todas as notas, afinadas, pelo menos uma oitava. Sugestão: copos com água, barras de metal (tipo um xilofone).
17. Encontrar uma forma, visando a logística, para organizar os móveis da casa, de modo a possuir maior espaço útil, praticidade e vizualização.
18. Buscar construir formas variadas de um castelo de cartas de baralho e classificar a resistência de cada um, quanto a suportar peso, vento e vibração.

Também pode-se aproveitar algumas aptidões já desenvolvidas e buscar nelas dados e informações lógicos, que até mesmo pode ajudá-la. Por exemplo:

1. Numa cobrança de penalty num futebol de salão ou campo, medir quais os locais em que o goleiro teria mais dificuldade para pegar a bola numa velocidade x, e quanto tempo ele levaria para conseguir chegar em tal ponto para realizar uma defesa; então se fosse cobrar em tal lugar, qual deveria ser a velocidade do chute, para ser indefensável?
2. Numa partida de cinuca, qual as direções que as bolas tomam quando são acertadas em determinadas regiões, ângulos e trajetórias? Como se comporta a trajetória da bola quando se faz tabelas com a borda da mesa? De modo a ficar previsível os lances.
3. Qual a melhor forma de se chutar visando adquirir maior velocidade na bola. (Buscando quantificar as diferenças).
4. Num jogo de truco, para 2, 4 ou 6 pessoas. Qual a probabilidade de você vencer, de alguém ter uma carta melhor, um 3, ou 2, ou uma manilha. Na primeira rodada, segunda e terceira. (há livros que já possuem tais informações, mas o importante é a pessoa desenvolver e construir esses valores)
5. Fazer relações quantificando o nível de esforço, e marchas e velocidades confortáveis para se pedalar em regiões de diversas inclinações. E buscar fazer uma trajetória, e planejá-lo, de modo a se chegar no final com o melhor tempo e mínimo cansado possível.
6. Identificar quais são os locais – pelo menos no chão – mais propensos a se quebrar, desgastar. Onde há maior trafego de pessoas, pesos, objetos pesados, arrastados. Quantificar isso. E buscar medidas, mudanças, para evitar tais desgastes, buscando moderar e suavizar todo o sistema.
7. Desenhar estruturas, objetos tridimensionais no papel. Buscando preservar a perspectiva, projeção, simetria, proporção e medidas. (buscar objetos cada vez mais complexos).

Os professores de matemática podem desenvolver outros modelos e usá-los como trabalhos especiais, em grupo e individuais. De modo a desenvolver tais áreas. E uma melhores coisas do trabalho prático, dessas experiências. É que o trabalho o ocupa, faz a mente trabalhar, gostar da coisa, e no final, quando é concluído há a “realização”, a conclusão. E não meramente a nota de uma prova teórica dos conteúdos teóricos gramaticais e sintáticos expostos em sala de aula ou no livro didático.

Em geral, muitos professores olham as notas dos alunos, fazendo médias do tipo: “sou um bom professor, alguns ou vários alunos tiveram um bom desempenho na prova”. Ou mesmo outorgando ao aluno como a total responsabilidade: “Esse aluno tem dificuldade, não consegue aprender.” Quando na verdade, deveriam ver como cada nota de cada aluno, como sendo a nota, a avaliação para com o professor. Mostrando a capacidade de tal em ter ensinado o aluno, ou mesmo de motivá-los. E uma das coisas tristes é essa forma de avaliação usada hoje, que é “fácil” – escolho alguns exercícios, imprimo, tiro xérox e cada e vamos medir o desempenho de cada um – para o professor. Mas até aonde isso avalia? Serve para todos os casos, todos os alunos? Não é um modelo construtivo.

Usando de experiências bem elaboradas, planejadas e orientadas. O aluno é grandemente motivado; e desenvolverá muito além do que uma típica “aula” de hoje: com a lousa, o giz, os números, os títulos, as fórmulas, os exemplos, as lições de casas e provas. E por fim, será muito mais claro de se avaliar o grau de desenvolvimento do aluno, e até mesmo identificar as debilidades.

Sempre uso exercícios de lógica e de dedução com os alunos particulares. E sempre tento avaliar de inicio as áreas de debilidade dele. E por incrível que pareça, a menor parte é quanto a matemática formal, as regras gramaticais, sintáticas e fórmulas. Mas na maioria das vezes, mesmo quando há debilidades dessas, a causa é: atrofia dos músculos do/a: raciocínio, lógica, dedução, criatividade, abstração, motivação, construção do pensamento, critica, observação e análise, concentração e intuição.

E boa parte dessas deficiências não se trabalhar com exercícios de regra de três com o exemplo do Zecá que foi comprar pão na padaria. Ou com aqueles vários: “Agora calcule...; simplifique”. Muito menos que são poucos os alunos que conseguem interagir com esse tipo de exercício.
Sinceramente, apenas tive um único aluno, que tinha todas essas áreas desenvolvidas, mas que a debilidade estava quando a linguagem matemática, a escrita, a gramática, sintaxe. É aquela coisa, ele entende bem, consegue desenvolver e racionar mentalmente, perfeito, mas o problema está na hora de passar pro papel de modo que o professor verifique se ele acertou, se escreveu bonito. E quando era apenas esse o problema, foi fácil de se resolver; com 1 mês de aula, duas por semanas, apenas explicando e treinando a matemática formal; e ele pegou e ficou bom na coisa.

É aquela coisa, o menino não tem vontade de comer. Aí os pais dão vários remédios, tônico, e a criança continua não comendo. Se virão para fazer comidas atrativas e deliciosas, mas o menino não come. E começa a julgar a criança, falar até mesmo mal de tal, como qualificando que a nota dele está “vermelha”. E enquanto isso ela vai gostar de comer? Não. Até que resolvem levar no especialista, e é feito um diagnóstica e percebe que tal está com alguma doença, ou falta de algum nutriente especifico, ou uma infecção; aí trata-se daquilo. E logo a criança passa a comer normalmente e a gostar de comida. E então a pergunta vem: “Por que em geral as pessoas não gostam (não querem) comer matemática?”


Contudo, o paradigma continua: “Por que o professor terá tanto trabalho assim, se o que o MEC exige é apenas o conteúdo; e em troca são mal recompensados com salários baixíssimos para uma atividade tão digna, senão a mais digna de todas.”

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Recomendo o livro:

"Experiências Matemáticas" de Vinício de Macedo Santos

(Um dos meus professores da Faculdade de Educação - USP)

Questão de Lógica: O Maquinista

No site:

http://www.ime.usp.br/~nelio/ensino/2004-1/ed/lista/msg00122.html há alguns exercícios bem interessantes de lógica. Um deles em especial resolverei, pois ele exige algo além do comum.

PLR 5. O Maquinista

Enunciado:

Num certo comboio, os empregados eram três pessoas: o guarda-freio, o foguista e o maquinista. Os seus nomes, por ordem alfabética, eram Jones, Robinson e Smith. No comboio havia, também, três passageiros com os mesmos nomes: Sr. Jones, Sr. Robinson e Sr. Smith. São conhecidos os seguintes factos:

· O Sr. Robinson vive em Detroit.

· O guarda-freio vive a meio caminho entre Detroit e Chicago.

· O Sr. Jones ganha, exactamente, $ 20.000 dólares por ano.

· Smith, em certa ocasião, derrotou o foguista, jogando bilhar.

· Um vizinho do guarda-freio, que vive numa casa ao lado da casa deste e é um dos três passageiros mencionados, ganha exactamente o triplo do que ganha o guarda-freio.

· O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda-freio.

Pergunta-se: Qual é o nome do maquinista?

Resolução:

Bem, primeiro, vamos organizar as informações.

Profissão {

Guarda-freio - GF

Foguista - F

Maquinista - M

}

Trabalhadores {

Jones - J1

Robinson - R1

Smith - S1

}

Passageiros {

Sr. Jones - J2

Sr. Robinson - R2

Smith - S2

}

Lugares {

Detroid - D

Chicago - C

Meio-caminho - MC

}

Agora, vamos análisar as informações.

1. R2 vive em D.

Logo, {J2, S2} não vivem em D.

2. GF vive em MC.

3. J2 ganha $ 20.000 U$/ano.

Certamente, essa é a grande informação "chave" do problema. Pois aparamente parece ser um absurdo. Pensemos nela depois.

4. S1 derrotou o F.

Logo, S1 não é F. Então, F = {J1 ou R1}

5. Um vizinho do GF, que vive numa casa ao lado da casa deste e é um dos PASSAGEIROS mencionados, ganha exactamente o triplo do que ganha o guarda-freio.

Bem, informação totalmente crucial. O vizinho do GF é um dos passageiros, ou seja, vivem no mesmo lugar. E segundo, também há uma informação referente ao "ganho em dinheiro", uma informação que faz alguma ligação com a terceira informação.

6. O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda-freio.

Então,

se GF = J1 ⇔J2 = C

se GF = R1 ⇔R2 = C

se GF = S1 ⇔S2 = C

Com isso, vamos redesenhar as informações.

Profissão {
GF = (MC)
F = (J1 ou R1)
M
}

Trabalhadores {
J1 = (F)
R1 = (F)
S1 ≠ (F)
}

Passageiros {
J2 = (C ou MC)
R2 = (D)
S2 = (C ou MC)
}

Lugares {
D = (R2)
C = (J2 ou S2)(mesmo nome do GF)
MC = (J2 ou S2)(GF)
}

A QUESTÃO CHAVE

Bem, como se percebe, apenas por isso não há como encontrar uma resposta. Mas a chave da questão está em descobrir sobre os passageiros, pois descobrindo tais e os locais onde moram, saberemos quem é o GF e naturalmente as peças se encaixarão. Mas para isso está na hora de usarmos a informação sobre o dinheiro $$$.

- J2 ganha $ 20.000 U$/ano.

- Passageiro que mora em MC, vizinho de GF, ganha 3x o que ganha GF.

Bem, vamos calcular. Quanto J2 ganha em média por mês?

20.000 : 12 = 1666,66 U$/mês

Um salário razoável. Mas agora, compare com a outra informação. O vizinho de GF é J2 ou S2. Sabemos quanto ganha J2, mas S2 não. Então, supondo que seja J2, quanto ganha GF?

J2 = 3GF

GF = J2/3

GF = 1666,66 : 3 = 555,55 U$/mês

Aqui está a grande pegadinha do exercício, a qual surpreende o comum. Temos que pensar além dos dados e informações do exercício e pensar numa lógica prática comum na realidade.

Bem, o trabalho se encontra nos Estados Unidos.

E quanto se ganha em média nos EUA?

Até 2007 o salário minimo era de 5,17 $/hora, que passou para 7,25.

Supondo que GF trabalhe 4 horas por dia, são 20 horas por semana, que são 80 horas por mês, que são 960 horas por ano, em média. Então, ele deveria receber algo, no minimo em torno de 4900 dólares.

Ou seja, ganhar 550 dólares por mês é muito pouco, não só para os padrões dos EUA, mas também para a profissão em si. Se fosse um estagiário, aprendiz, alguem que entrega jornais nas horas vagas do ginásio, algo do tipo, até é aceitável. Mas para quem cuida dos freios de uma empresa ferroviaria é um absurdo afirmar isso.

Portanto, tendo isto por base, o vizinho de GF não pode ser o J2. Logo, o vizinho é S2.

Consequentemente, J2 vive em Chicago. Então, GF = J1. Então, F = R1, por fim, M = S1.

Resposta: O maquinista se chama Smith.