Zero é número par? - Pares, impares e neutros.

Esses dias algumas pessoas me questionaram quanto a paridade do zero dizendo para provar que ele é par. Bem, é uma questão no minimo legal. Então colocarei aqui vários ambitos de análise e o resultado obtido em cada um deles.

Definição de Par e Ímpar

Par

n = 2k

Impar

n = 2k + 1

Tal que n, k є I.

Então, caso fosse impar:

0 = 2k + 1

k = - 1/2 (absurdo)

Logo, k é par:

0 = 2k

k = 0

Propriedade da Soma

A soma de números iguais, em módulo, é sempre par.

par1 + par2 = par

I) -2k - 2k = 2(-2k) = 2n

II) 2k + 2k = 4k = 2(2k) = 2n

III) 2k - 2k = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0

impar1 + impar2 = par

I) -2k - 1 - 2k - 1 = -4k - 2 = 2(-2k - 1) = 2n

II) 2k + 1 + 2k + 1 = 4k + 2 = 2(2k + 1) = 2n

III) 2k + 1 - 2k - 1 = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0

Não existe uma soma de resultado impar que se resulte em zero.

Divisibilidade

Uma definição também para par é que o número é divisivel por 2.

Pois n = 2k, logo n/2 = k

0 = 2.0

0/2 = 1.0 = 0

ou seja:

0/2 = 2.Inteiro + zero de resto

- Caso fosse impar isso se resulta em absurdo.

n = 2k + 1

0/2 = 2. Inteiro + 1 de resto

0 = 4.k + 2

4k = -2

k = -1/2 (absurdo)

A Soma de 2 Números Pares

Como já visto, a soma de dois números pares é sempre par.

E a soma de dois números impares é sempre par também.

2 números pares

0 + 2k = 2k

0 + 8 = 8

2 números impares

0 + 2k + 1 = 2k + 1

0 + 1 = 1

(logo é uma soma de um par com um impar)

- aqui também fica a questão da propriedade do elemento neutro das aditivas.

- consequencia dessa propriedade, multriplicação de pares por impares se resulta em par.

Multiplicação Par x Impar

2k.(2y + 1) = 4ky + 2 = 2(ky + 1) = 2n

Logo,

0.impar ou 0.par = par

Pares Perfeitos

Números pares são números que correspondem a uma associação igual entre dois números sem ter resto.

Ou seja, podemos representar da seguinte forma:

7 = / / / / / / /

Pegando seus pares e os removendo, ou seja, dividindo por 2. Temos traço sem par, ou seja, houve o resto de 1.

4= / / / /

Assim, se tem 2 pares e com resto zero.

0 = ?

Aí entra um problema, pois não há pares em zero; porém o resto é zero. Mas não há o par.

Logo, nessa definição zero não é par. Ou seja, quando se tem o número associado como quantidade o zero é puramente neutro e não adquire propriedade como par, nem impar.

Confusão de Conceitos

Talvez a grande questão que leva a confusão seja um problema quanto alguns conceitos quanto as caracteristicas de um número.

Característica 1: Conjunto

Um número pode ser Racional ou Irracional, num dominio Real.

Característica 2: Primaridade

Número primo são os números que apenas são divisiveis por 1 e por ele mesmo. Até hoje não se encontrou uma equação ou formulação certa para isso.

Quanto a isso, os números são classificados como primo ou não-primo.

Característica 3: Opostos/Inversos e Neutros

Neutro = associação de opostos ou inversos

0 = 1 + (-1)

0 = 4 + (-4)

1 = 2^0 = 2/2 = 1 = 2.(1/2)

1 = 7^0 = 7/7 = 1 = 7.(1/7)

Característica 4: Pariedade

Números divisiveis por 2 são pares.

Ou seja, um número pode possuir uma ou mais caracteristicas. E não se pode dizer assim, se ele tem a caracteristica de neutro então não pode possuir outra. Caso fosse assim. Se o (-2) é oposto de 2, então não podemos dizer que ele é par?

Quocientes, númeradores e restos

Vamos pensar no 4,4 no 2,2 e no 1,1. Eles são pares?

No conjunto dos racionais são, no dos inteiros não?

4,4 : 2 = 2,2 + 0

Ou seja, resto 0? Não. Pois 4,4 / 2 = 2 + 0,2

2,2 / 2 = 1,1 + 0

É assim? Ou é 2,2 / 2 = 1 + 0,1 ?

1,1 / 2 = 0,55

Um dos problemas é que muitos esquecem que decimais são frações, não é um resto zero. Ou então, associam qualquer número com finais (a última casa à direita) 0, 2, 4, 6 e 8 como sendo par. Em geral, são alguns vicios de se trabalhar com tais algarismos pares, de modo a identificar o número como par devido a isso. E com isso, é comum olhar números pares com final zero, como 10, 50, 100, e, devido a isso, considerarem o zero como sendo um número par. Sim, se pode dizer que quando o ultimo algarismo do número for par, o número é par; mas afirmar que devido a isso o zero é par; é esquecer da propriedade do que define um número sendo par. Porém, esquecem de uma propriedade de dizima periódica: Qualquer número racional tem dizima periódica.

Tanto o 3 quanto o 3,3 quanto o 3,33...

3 = 3,0000000000000000000... (dizima em zero)

3,3 = 3,3000000000000000000... (dizima em zero)

3,33.... = 3,3333333333333333333... (dizima em 3)

- Algum deles é par? E os seguintes?

2 = 2,0000000000000000000... (dizima em zero)

2,2 = 2,2222222222222222222222... (dizima em dois)

2,22222222222222 = 2,222222222222220000000... (dizima em zero)

Pois muitas vezes se faz uma confusão quanto a diferenciar o que é parte inteira e parte decimal. Exemplos:

2,2 = (2 + 0,2) = 2 + 2.10^(-1) = 2 + 2/10

Tem a parte inteira e a parte decimal. A parte inteira pode ser classificada se é par ou impar. A parte decimal não, nela, apenas podemos dizer qual algarismo é par ou impar.

0,5 é par?

e

1/2 é par?

e

5/10?

10/20?

40/80?

Percebeu qual é realmente o significado de número inteiro e de resto zero? O que se deve levar conta para considerar o zero como par?

A Régua

Por fim, um exemplo simples. Numa reta, os pontos representam sua posição no espaço. Quanto as casas dos centimetros. Sempre segue uma ordem par, impar, par, impar... contatos a partir de uma referência. A regua começa normalmente com 0, 1, 2, 3, 4, ... (par, impar, par, impar...). Apenas no 1 se tem a unidade. Logo toda unidade tem tamanho 1. Como é impar, é uma associação de um par com um impar: par - impar = 1

1 - 0 = 1

2 - 1 = 1

3 - 2 = 1

Agora mude a régua. Arraste de modo que a régrua seja: -1, 0, 1, 2, 3, ... (e aí mudou alguma coisa?) Não, a propriedade continuou igual. Note que a ordem contiuna: (impar, par, impar, par...) É o algarismo que representa se é par ou imparO ponto zero representa a unidade 1. Ou seja, continua a mesma história, do tamanho, do módulo:

0 - (-1) = 1

par - impar = impar

1 - 0 = 1

Questões para ficar careca

1) Pense no 0,999... (dizima em 9) e no seu oposto. Ambos são zero, certo? E tais, são pares ou impares?

2) Entre dois números irracionais sempre há um racional? E entre dois racionais, sempre há um irracional?

3) No conjunto dos Reais, qual é os números (infinitamente) a direita e a esqueda de zero, são pares ou impares? Racionais ou irracionais? O zero pode ser um irracional?

4) Na fatoração. Porque não se faz: 5.4.3.2.1.0! ? Sem levar em conta, a primeira vista, que qualquer fatorial seria igual a zero.

5) Por que ocultam-se os zeros do Triangulo Aritmético (de Pascal)?

6) Demonstre o absurdo de se dizer que algum número é divisivel por zero. E que 0^0 = 1.

7) Dê o conjunto solução de "par" dividido por "par". E - sabendo o que é par e impar - pode-se dizer que toda fração racional não-par é impar?