terça-feira, 19 de junho de 2007

Série de Taylor

Também conhecido por Polinômio de Taylor, trata-se de uma série infinita de um função, a qual o valor dessa função pode ser calculado algébricamente por uma soma infinitamente aproximada (ou exata, dependendo do valor e do tamanho da série).

Bem, a prova (ou demonstração) desse teorema, quem sabe eu coloque um outro dia, pois é bem complexo. Já, aqui partiremos para o teorema, na prática.



Bem, com essa função, (o qual é preciso ter uma idéia de derivadas), você pode usá-lo como um algoritmo para descobrir o valor de qualquer função, até daquelas mais complicadas. Ai vai alguns exemplos de funções, através do Polinômio de Taylor.






para x >0






para x <>
Bem, como funcionam essas equações. É simples, pense num valor de x, e substitua na fórmula, nos lugares onde dá x, e calcule o final da conta. O "..." refere-se, que você pode aumentar infinitamente essas frações, segrindo a progressão que se pode observar, segundo o polinomio de Taylor. E que quanto mais frações, mais próximo do exato valor estará, ou talvez, em algum momento já se consiga o valor exato. Aliás, esse polinômio é interessante para calcular o resultado de uma função que tende a uma dizima periódica infinita, ou mesmo um número irracional.

Também há um cáculo extra, no qual, você se tem uma "margem de erro", e pode-se saber até quando precisa para chegar numa determinada margem de erro. Mas ai complica um pouco mais, talvez eu coloque junto, quando colocar a demonstração do teorema e seus propriedades mais a rigor.

Eu dei uma olhada em alguns livros, e se não li equivocadamente, em Cálculo 4, serei apresentado ao Polinomio de Taylor para função de várias variáveis, o que também seria bem interessante.

5 comentários:

  1. Oie, então querido...fiquei com uma dúvida...estava olhando e pela definição que vc apresenta...fica dificil entender como a funçaão seno não apresenta em sua resposta nenhum cosseno ou seno...uma vez que sua resposta é conseguida através de derivações da função original....algum passo ficou subentedido certo? Gostaria que explicasse esse passo...
    De resto fiquei feliz de ver esse blog, uma vez que blog me aparenta ser algo "jovem" imagino que seja aluno do 2 ano ou algo assim...rss.. se é um equivoco, perdão....


    ahh só mais um comentário....só para visar uma melhoria..não querendo ser chata...

    Se escreve essência e não essensia

    ResponderExcluir
  2. Obrigado pelo comentário...

    Bem, quanto ao valor aprox. de seno pelo polinomio de taylor, apenas coloquei a equação final, e os "..." indicando que poderia se seguir a lógica, tornando o valor mais próximo ainda.

    Não demonstrei a fórmula, nem como se obtem tais funções.

    Talvez, mais para frente, eu coloque a demonstração, e como se obtem tais funções.

    É fiz tal post, eu realmente estava no segundo ano. Agora já estou no terceiro ano do curso de Matemática no IME-USP.

    Obrigado.

    ResponderExcluir
  3. oie
    ahh sim..ks... bem, para ser honesta imaginei que estava no segundo ano, tb, por EU estar no segundo ano e essa ser uma das matérias que faço...um curso de sequências e séries que, infelizmente, está me surrando.
    Também pretendo fazer matemática, mas ando apanhando bastante, talvez eu siga em engenharia, já que na minha universidade isso é uma possibilidade.
    Se não me excedo em perguntar, como é curso aí da usp? Ouvi dizerem muito bem (ótimos alunos, professores...), mas já ouvi falarem muito mal (pela falta de investimento e talz).
    Gostaria de saber sua opinião, para saber como andam as outras faculs.

    bjuss


    ahh btw eu sou da UFABC (que vc provavelmente nunca ouviu falar)

    ResponderExcluir
  4. UFABC rs.. claro que conheço sim, eh na minha cidade, Sto André... rs

    Bem, o curso de matemática aqui na USP é o que possui o maior indice de desistência dos alunos... porque é MUITO dificil...
    Aqui não tem essa de corpo mole... ou você se mata de estudar, e estuda muito muito mesmo, e por conta própria, o chamado - "se vira para aprender" - pois, em geral os professores tem uma péssima didática, e não estão nem aí para o aprendizado dos alunos; pois são na verdade pesquisadores, com um baita curriculo, tudo Dr para cima, então eles ensinam, e passam o conteudo, como se você já fosse um super matemático, que entende tudo de fomra "óbvia", "trivial" e rápida... e de um conteudo de forma bem rigorosa e com uma forte e sólida base...
    ai é assim... a média aqui é 5,0. Mas tirar um 5,0 é como se tirar um 10. A coisa mais comum é alguem tirar notas abaixo de 2, inclusive zero; depois ter que fazer prova subtituta (SUB), e depois ficar de recuperação (REC)... e também ficar de DP...

    E as DP's aqui é assim. Você simplesmente vai ter que REFAZER toda a disciplina.

    Ai é super-comum, o pessoal demorar mais de 6 anos para terminar o curso, e olha lá. Porque é realmente muito dificil.

    Mas creio que esse seja o gde diferencial da USP. POis você apenas sai daki depois de ter ralado muito, suado a camisa; formado uma boa autodiciplina para estudar e se virar para a aquisição do conhecimento; e também saindo com uma base bem forte nos conteúdos visto. Assim como aqui incentivam muito o senso critico, e a idéia de "pesquisador" simplesmente questionar e buscar investigar TUDO, até as coisas mais triviais, a fim de buscar complexidades, padrões, e por cima ter que prová-las. rs

    Agora quanto a investimento. A FEA (Fac. de Adm e Econ) recebem um bom investimento. No IME,já nem tanto. Os projetos de iniciação por aqui são poucos, concorridos, e com uma bolsa não muito atraente. Mas há boas vantanges, há muitas empresas que vem buscar apenas alunos aqui do IME, ou que tem um estagio espécial para o pessoal daki etc.
    E a Universidade oferece uma incrivel infra-estrutura... só o centro esportivo, já é algo muito 10!!! E tem o Hospital Universitário... Os tratamentos odontológicos, entre várias outras coisas...

    ResponderExcluir
  5. socorro !!!
    eh q eu tenho um trabalho pra fazer sobre aplicações de series de taylor em computação mas naum achei quase nada na net
    sera q vc podia me ajudar?


    vlw a atenção

    ResponderExcluir