O Número 1089

Você já deve ter feito ou passado por aquelas pegadinhas com números. Bem, essa é mais uma e muito interessante. É assim: Escolha um número de 3 dígitos diferentes (ex. 541), depois inverta a ordem dos números (145), subtrao-o com o anterior em módulo (396), então inverta a ordem desse número (693) e some com o número anterior (693 + 396), o resultado será 1089.

Um outro exemplo:
Escolha: 102
Inverso: 201
Subtração em módulo: 099
Inverso: 990
Soma: 1089

....
Bem, a pergunta que não quer se calar: Por quê?
....

Vamos análisar isso.

TESE
Seja X um número de 3 dígitos (ABC), tal que A = 100u1, B = 10u2, C = u3, onde u = (u1, u2, u3) e A ≠ B ≠ C. E w = {w1, w2, w3}, tal que w, u = [0, 9] ∈ N. Então:

|ABC - CBA| = DEF
e
|DEF + FED| = 1049

ou

|X - X'| = Y
e
Y + Y' = 1049

para X = ABC, X' = CBA, Y = DEF e Y' = FED


PROVA
X = ABC = 100u1 + 10u2 + u3
X' = CBA = 100u3 + 10u2 + u1

|X - X'| = |99 u3 - 99 u1| = 99.|u3 - u1| = Y

|u3 - u1| = k (k ∈ N)

Como {u3, u1} = [0, 9] e u3 ≠ u2. Então, k = [1, 9]

Portando, os possíveis valores de Y são:
Y = {099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891}

Como Y = DEF, logo se percebe que Y = D9F

Y = 100w1 + 10w2 + w3 = 100w1 + 10.9 + w3
Y = 100w1 + w3 + 90

Note que w1 + w3 = 9 (I)

Então, Y' = 100w3 + 90 + w1 = FED = F9D

Y + Y' = 100w3 + w3 + 2.90 +100w1 + w1
= 101w3 + 180 + 101 w1
= 101(w3 + w1) + 180
= 101.(9) + 180 usando (I)
= 101.9 + 180
= 909 + 180
= 1089

Portanto, Y + Y' = 1089 c.q.d.

Questão de Lógica: O Maquinista

No site:

http://www.ime.usp.br/~nelio/ensino/2004-1/ed/lista/msg00122.html há alguns exercícios bem interessantes de lógica. Um deles em especial resolverei, pois ele exige algo além do comum.

PLR 5. O Maquinista

Enunciado:

Num certo comboio, os empregados eram três pessoas: o guarda-freio, o foguista e o maquinista. Os seus nomes, por ordem alfabética, eram Jones, Robinson e Smith. No comboio havia, também, três passageiros com os mesmos nomes: Sr. Jones, Sr. Robinson e Sr. Smith. São conhecidos os seguintes factos:

· O Sr. Robinson vive em Detroit.

· O guarda-freio vive a meio caminho entre Detroit e Chicago.

· O Sr. Jones ganha, exactamente, $ 20.000 dólares por ano.

· Smith, em certa ocasião, derrotou o foguista, jogando bilhar.

· Um vizinho do guarda-freio, que vive numa casa ao lado da casa deste e é um dos três passageiros mencionados, ganha exactamente o triplo do que ganha o guarda-freio.

· O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda-freio.

Pergunta-se: Qual é o nome do maquinista?

Resolução:

Bem, primeiro, vamos organizar as informações.

Profissão {

Guarda-freio - GF

Foguista - F

Maquinista - M

}

Trabalhadores {

Jones - J1

Robinson - R1

Smith - S1

}

Passageiros {

Sr. Jones - J2

Sr. Robinson - R2

Smith - S2

}

Lugares {

Detroid - D

Chicago - C

Meio-caminho - MC

}

Agora, vamos análisar as informações.

1. R2 vive em D.

Logo, {J2, S2} não vivem em D.

2. GF vive em MC.

3. J2 ganha $ 20.000 U$/ano.

Certamente, essa é a grande informação "chave" do problema. Pois aparamente parece ser um absurdo. Pensemos nela depois.

4. S1 derrotou o F.

Logo, S1 não é F. Então, F = {J1 ou R1}

5. Um vizinho do GF, que vive numa casa ao lado da casa deste e é um dos PASSAGEIROS mencionados, ganha exactamente o triplo do que ganha o guarda-freio.

Bem, informação totalmente crucial. O vizinho do GF é um dos passageiros, ou seja, vivem no mesmo lugar. E segundo, também há uma informação referente ao "ganho em dinheiro", uma informação que faz alguma ligação com a terceira informação.

6. O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda-freio.

Então,

se GF = J1 ⇔J2 = C

se GF = R1 ⇔R2 = C

se GF = S1 ⇔S2 = C

Com isso, vamos redesenhar as informações.

Profissão {
GF = (MC)
F = (J1 ou R1)
M
}

Trabalhadores {
J1 = (F)
R1 = (F)
S1 ≠ (F)
}

Passageiros {
J2 = (C ou MC)
R2 = (D)
S2 = (C ou MC)
}

Lugares {
D = (R2)
C = (J2 ou S2)(mesmo nome do GF)
MC = (J2 ou S2)(GF)
}

A QUESTÃO CHAVE

Bem, como se percebe, apenas por isso não há como encontrar uma resposta. Mas a chave da questão está em descobrir sobre os passageiros, pois descobrindo tais e os locais onde moram, saberemos quem é o GF e naturalmente as peças se encaixarão. Mas para isso está na hora de usarmos a informação sobre o dinheiro $$$.

- J2 ganha $ 20.000 U$/ano.

- Passageiro que mora em MC, vizinho de GF, ganha 3x o que ganha GF.

Bem, vamos calcular. Quanto J2 ganha em média por mês?

20.000 : 12 = 1666,66 U$/mês

Um salário razoável. Mas agora, compare com a outra informação. O vizinho de GF é J2 ou S2. Sabemos quanto ganha J2, mas S2 não. Então, supondo que seja J2, quanto ganha GF?

J2 = 3GF

GF = J2/3

GF = 1666,66 : 3 = 555,55 U$/mês

Aqui está a grande pegadinha do exercício, a qual surpreende o comum. Temos que pensar além dos dados e informações do exercício e pensar numa lógica prática comum na realidade.

Bem, o trabalho se encontra nos Estados Unidos.

E quanto se ganha em média nos EUA?

Até 2007 o salário minimo era de 5,17 $/hora, que passou para 7,25.

Supondo que GF trabalhe 4 horas por dia, são 20 horas por semana, que são 80 horas por mês, que são 960 horas por ano, em média. Então, ele deveria receber algo, no minimo em torno de 4900 dólares.

Ou seja, ganhar 550 dólares por mês é muito pouco, não só para os padrões dos EUA, mas também para a profissão em si. Se fosse um estagiário, aprendiz, alguem que entrega jornais nas horas vagas do ginásio, algo do tipo, até é aceitável. Mas para quem cuida dos freios de uma empresa ferroviaria é um absurdo afirmar isso.

Portanto, tendo isto por base, o vizinho de GF não pode ser o J2. Logo, o vizinho é S2.

Consequentemente, J2 vive em Chicago. Então, GF = J1. Então, F = R1, por fim, M = S1.

Resposta: O maquinista se chama Smith.