O Problema das Portas

Essa é uma questão de lógica nada óbvia; é preciso trabalhar e pensar um pocado para solucioná-la; ao mesmo tempo, bem desafiadora. E o particular dela, é que até mesmo para o ginásio ela é cabível.

The Question

Num corredor há 100 portas fechadas e 100 mulheres. A primeira mulher passa pelo corredor abrindo todas as portas. A segunda mulher passa pelo corredor abrindo apenas as portas pares. A terceira mulher, abre apenas as portas que é multipla de três. Então vem a quarta mulher e repete o mesmo processo, até a última porta. Quais as portas que ficaram abertas ao passar a última mulher? E caso o número fosse 1000 portas e mulheres.

Comentários

O primeiro problema está na lógica do texto. Demorou um pouco e tive que consultar o professor Oscar João Abnaour (disciplia "Seminário de Resolução de Problemas", IME-USP), para realmente estar certo da lógica do problema.

A mulher 1, inverte (fechado / aberto) multiplo de 1.

A mulher 2, inverte (fechado / aberto) multiplo de 2.

A mulher 3, inverte (fechado / aberto) multiplo de 3.

A mulher 4, inverte (fechado / aberto) multiplo de 4.

A mulher 5, inverte (fechado / aberto) multiplo de 5.

...

A mulher 100, inverte (fechado / aberto) multiplo de 100.

Geral:

A mulher k, inverte (fechado / aberto) multiplo de k.

Até onde cheguei

Depois de muito quebrar os miolos, consegui chegar numa regra geral para descobrir se a porta no final será aberta ou fechada:

"A porta k, se k = "n. primo", será fechada no final. As portas que k não é primo, se ela possuir um número de divisores (de modo a ser divisível) pares, no final ela vai ser aberta; se impar, será fechada. Exceto a porta 1, a qual será aberta."

Tal resolução verbal está 100% correta. O problema é que ela é insuciente para determinar no final a quantidade de portas abertas; pois necessitaria ver cada caso. E se fossem mil portas, seria chato para dedel. Caso fosse resolver isso usando um programinha bem simples em C, seria fácil. Mas certamente, o que falta é obter-se uma expressão mais profunda de como trabalhar com tal lógica; a apenas informar um número de portas e mulheres, e então o resultado seria o número de portas abertas.

Comecei a trabalhar depois com a idéia de MMC e MDC; o problema é que tais tralham, em essência, com números primos. Mas até hoje ninguém conseguiu descobrir uma fórmula, uma definção algébrica dos números primos; se você conseguir, vai ganhar um prêmio MIT de 2 mulhões de dólares. Portanto, certamente há um outro caminho; não sei qual. Mas uma amiga percebeu alguma coisa com cara de combinação, e está escavando por essas terras.

Ainda não cheguei numa solução. Mas o desafio, lançado está, para o leitor.

Zero é número par? - Pares, impares e neutros.

Esses dias algumas pessoas me questionaram quanto a paridade do zero dizendo para provar que ele é par. Bem, é uma questão no minimo legal. Então colocarei aqui vários ambitos de análise e o resultado obtido em cada um deles.

Definição de Par e Ímpar

Par

n = 2k

Impar

n = 2k + 1

Tal que n, k є I.

Então, caso fosse impar:

0 = 2k + 1

k = - 1/2 (absurdo)

Logo, k é par:

0 = 2k

k = 0

Propriedade da Soma

A soma de números iguais, em módulo, é sempre par.

par1 + par2 = par

I) -2k - 2k = 2(-2k) = 2n

II) 2k + 2k = 4k = 2(2k) = 2n

III) 2k - 2k = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0

impar1 + impar2 = par

I) -2k - 1 - 2k - 1 = -4k - 2 = 2(-2k - 1) = 2n

II) 2k + 1 + 2k + 1 = 4k + 2 = 2(2k + 1) = 2n

III) 2k + 1 - 2k - 1 = 2(k - k) = 2(0) = 2n = 0

Não existe uma soma de resultado impar que se resulte em zero.

Divisibilidade

Uma definição também para par é que o número é divisivel por 2.

Pois n = 2k, logo n/2 = k

0 = 2.0

0/2 = 1.0 = 0

ou seja:

0/2 = 2.Inteiro + zero de resto

- Caso fosse impar isso se resulta em absurdo.

n = 2k + 1

0/2 = 2. Inteiro + 1 de resto

0 = 4.k + 2

4k = -2

k = -1/2 (absurdo)

A Soma de 2 Números Pares

Como já visto, a soma de dois números pares é sempre par.

E a soma de dois números impares é sempre par também.

2 números pares

0 + 2k = 2k

0 + 8 = 8

2 números impares

0 + 2k + 1 = 2k + 1

0 + 1 = 1

(logo é uma soma de um par com um impar)

- aqui também fica a questão da propriedade do elemento neutro das aditivas.

- consequencia dessa propriedade, multriplicação de pares por impares se resulta em par.

Multiplicação Par x Impar

2k.(2y + 1) = 4ky + 2 = 2(ky + 1) = 2n

Logo,

0.impar ou 0.par = par

Pares Perfeitos

Números pares são números que correspondem a uma associação igual entre dois números sem ter resto.

Ou seja, podemos representar da seguinte forma:

7 = / / / / / / /

Pegando seus pares e os removendo, ou seja, dividindo por 2. Temos traço sem par, ou seja, houve o resto de 1.

4= / / / /

Assim, se tem 2 pares e com resto zero.

0 = ?

Aí entra um problema, pois não há pares em zero; porém o resto é zero. Mas não há o par.

Logo, nessa definição zero não é par. Ou seja, quando se tem o número associado como quantidade o zero é puramente neutro e não adquire propriedade como par, nem impar.

Confusão de Conceitos

Talvez a grande questão que leva a confusão seja um problema quanto alguns conceitos quanto as caracteristicas de um número.

Característica 1: Conjunto

Um número pode ser Racional ou Irracional, num dominio Real.

Característica 2: Primaridade

Número primo são os números que apenas são divisiveis por 1 e por ele mesmo. Até hoje não se encontrou uma equação ou formulação certa para isso.

Quanto a isso, os números são classificados como primo ou não-primo.

Característica 3: Opostos/Inversos e Neutros

Neutro = associação de opostos ou inversos

0 = 1 + (-1)

0 = 4 + (-4)

1 = 2^0 = 2/2 = 1 = 2.(1/2)

1 = 7^0 = 7/7 = 1 = 7.(1/7)

Característica 4: Pariedade

Números divisiveis por 2 são pares.

Ou seja, um número pode possuir uma ou mais caracteristicas. E não se pode dizer assim, se ele tem a caracteristica de neutro então não pode possuir outra. Caso fosse assim. Se o (-2) é oposto de 2, então não podemos dizer que ele é par?

Quocientes, númeradores e restos

Vamos pensar no 4,4 no 2,2 e no 1,1. Eles são pares?

No conjunto dos racionais são, no dos inteiros não?

4,4 : 2 = 2,2 + 0

Ou seja, resto 0? Não. Pois 4,4 / 2 = 2 + 0,2

2,2 / 2 = 1,1 + 0

É assim? Ou é 2,2 / 2 = 1 + 0,1 ?

1,1 / 2 = 0,55

Um dos problemas é que muitos esquecem que decimais são frações, não é um resto zero. Ou então, associam qualquer número com finais (a última casa à direita) 0, 2, 4, 6 e 8 como sendo par. Em geral, são alguns vicios de se trabalhar com tais algarismos pares, de modo a identificar o número como par devido a isso. E com isso, é comum olhar números pares com final zero, como 10, 50, 100, e, devido a isso, considerarem o zero como sendo um número par. Sim, se pode dizer que quando o ultimo algarismo do número for par, o número é par; mas afirmar que devido a isso o zero é par; é esquecer da propriedade do que define um número sendo par. Porém, esquecem de uma propriedade de dizima periódica: Qualquer número racional tem dizima periódica.

Tanto o 3 quanto o 3,3 quanto o 3,33...

3 = 3,0000000000000000000... (dizima em zero)

3,3 = 3,3000000000000000000... (dizima em zero)

3,33.... = 3,3333333333333333333... (dizima em 3)

- Algum deles é par? E os seguintes?

2 = 2,0000000000000000000... (dizima em zero)

2,2 = 2,2222222222222222222222... (dizima em dois)

2,22222222222222 = 2,222222222222220000000... (dizima em zero)

Pois muitas vezes se faz uma confusão quanto a diferenciar o que é parte inteira e parte decimal. Exemplos:

2,2 = (2 + 0,2) = 2 + 2.10^(-1) = 2 + 2/10

Tem a parte inteira e a parte decimal. A parte inteira pode ser classificada se é par ou impar. A parte decimal não, nela, apenas podemos dizer qual algarismo é par ou impar.

0,5 é par?

e

1/2 é par?

e

5/10?

10/20?

40/80?

Percebeu qual é realmente o significado de número inteiro e de resto zero? O que se deve levar conta para considerar o zero como par?

A Régua

Por fim, um exemplo simples. Numa reta, os pontos representam sua posição no espaço. Quanto as casas dos centimetros. Sempre segue uma ordem par, impar, par, impar... contatos a partir de uma referência. A regua começa normalmente com 0, 1, 2, 3, 4, ... (par, impar, par, impar...). Apenas no 1 se tem a unidade. Logo toda unidade tem tamanho 1. Como é impar, é uma associação de um par com um impar: par - impar = 1

1 - 0 = 1

2 - 1 = 1

3 - 2 = 1

Agora mude a régua. Arraste de modo que a régrua seja: -1, 0, 1, 2, 3, ... (e aí mudou alguma coisa?) Não, a propriedade continuou igual. Note que a ordem contiuna: (impar, par, impar, par...) É o algarismo que representa se é par ou imparO ponto zero representa a unidade 1. Ou seja, continua a mesma história, do tamanho, do módulo:

0 - (-1) = 1

par - impar = impar

1 - 0 = 1

Questões para ficar careca

1) Pense no 0,999... (dizima em 9) e no seu oposto. Ambos são zero, certo? E tais, são pares ou impares?

2) Entre dois números irracionais sempre há um racional? E entre dois racionais, sempre há um irracional?

3) No conjunto dos Reais, qual é os números (infinitamente) a direita e a esqueda de zero, são pares ou impares? Racionais ou irracionais? O zero pode ser um irracional?

4) Na fatoração. Porque não se faz: 5.4.3.2.1.0! ? Sem levar em conta, a primeira vista, que qualquer fatorial seria igual a zero.

5) Por que ocultam-se os zeros do Triangulo Aritmético (de Pascal)?

6) Demonstre o absurdo de se dizer que algum número é divisivel por zero. E que 0^0 = 1.

7) Dê o conjunto solução de "par" dividido por "par". E - sabendo o que é par e impar - pode-se dizer que toda fração racional não-par é impar?

NASA: Mais mistérios na Cosmologia

O Universo acaba de pregar uma peça em pesquisadores brasileiros e americanos. Um experimento configurado para medir a energia injetada no cosmo pelas suas primeiras estrelas, em tese, achou muito mais do que isso. Em vez do sinal fraco dos primeiros astros, o Projeto Arcade registrou um ruído de rádio seis vez maior do que o previsto. O quebra-cabeça do início do Universo acaba de ficar muito mais embaralhado, e a detecção das primeiras estrelas, mais difícil.

O Universo acaba de pregar uma peça em pesquisadores brasileiros e americanos. Um experimento configurado para medir a energia injetada no cosmo pelas suas primeiras estrelas, em tese, achou muito mais do que isso. Em vez do sinal fraco dos primeiros astros, o Projeto Arcade registrou um ruído de rádio seis vez maior do que o previsto. O quebra-cabeça do início do Universo acaba de ficar muito mais embaralhado, e a detecção das primeiras estrelas, mais difícil.

Os cientistas estão classificando o novo estrondo primordial como algo misterioso porque todas as fontes já conhecidas para esse ruído foram descartadas.

Não é um rastro de nenhuma estrela antiga, de nenhuma fonte cósmica conhecida de ondas de rádio ou muito menos um resquício de gás de perto da Via Láctea.

Nem mesmo o resíduo do Big Bang, a chamada radiação cósmica de fundo (energia "fóssil" da infância do cosmo --os primeiros cem mil anos), pode estar na fonte do ruído misterioso --por causa da diferença de intensidade entre ambos.
(...)
Na astrofísica, os cientistas relacionam a energia de radiação de um corpo com sua temperatura. O balão do Arcade estuda desvios de temperatura de 2,7 Kelvin (-267,3°C) em relação à radiação cósmica de fundo. Esse tipo de radiação primordial, medida há 20 anos, tem uma temperatura homogênea de -270,25°C.

Nessas diferenças sutis de temperatura estão as assinaturas cada vez mais "enigmáticas" do início do cosmo.


Fonte: Folha Online


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Nota: Mais uma vez, o empírico acertando o ego daqueles que se dizem tudo compreender, ou pelo menos compreender o Universo o suficiente para saber de fato sobre sua origem [ops! origem?], e de modo, pelo menos, para poder 'garantir' de que Deus não existe, ou que Ele não foi O responsável pela criação de tal. Enquanto isso, como processo natural da Ciência, novas descobertas, dúvidas, revelações, quebra de paradigmas, novas idéias e possibilidades vão surgindo. E qual tema, hoje, a física compreende perfeitamente? Então, por que da arrogância "a la oniciente" quanto a conclusão da origem, do inicio do Universo?

Contudo, vamos orar para que cada vez mais os cientistas possam compreender, descobrir e apreender mais sobre a criação de Deus. Sobre o Universo, as Leis Naturais.

Sir Isaac Newton

Não é um post sobre matemática ou algo diretamente ligado, vamos assim dizer; mas se trata de um dos grandes, maiores nomes da Matemática, Sir Isaac Newton; na matemática em si, tal foi importantissimo, primordial, no desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, função limite e no estudo de polinomios; tal é, que algo hoje visto no Ensino Médio, carrega o nome dele - Binomio de Newton. (Uma formulação geral para o desenvolvimento de (a + b)^n. De modo a saber cada termo, tanto o seu coeficiente, posição, expoentes.)

Contudo, infelizmente, as escolas e mesmo matemáticos, em maioria, conhecem apenas o Newton matemático, o Newton físico; mas pouquissimo do Newton humano. Como era seu dia-dia, sua história, seus pensamentos. Ou seja, como era a vida do homem que foi até mesmo reconhecido como a "luz do mundo".

Newton, entre outras coisas, era um homem estudioso das Escrituras, da Bíblia; podendo até mesmo ser chamado de teólogo e um estudioso da História também. E até mesmo escreveu um livro quanto aos seus estudos sobre as profecias de Daniel e Apocalipse.

Convido-lhe a conhecer um pouco do Newton, seus pensamentos, os quais, certamente, não encontrará nos seus estudos no Ensino Médio, tão pouco no Superior; seja no curso de medicina ou de física.

Continuação:
Pérolas Teológicas Newtonianas

Nanogeradores: Corpo produz Energia

Pesquisadores da Universidade da Geórgia, nos Estados Unidos, criaram uma nova categoria de geradores elétricos miniaturizados que são capazes de gerar energia a partir do movimento e que poderão equipar uma nova geração de implantes médicos, próteses inteligentes e até mesmo equipamentos eletrônicos portáteis.

Esta é a quarta geração de geradores elétricos flexíveis criados a partir do desenvolvimento, em 2006, de nanoestruturas de óxido de zinco, cujas propriedades piezoelétricas são exploradas para extrair eletricidade do movimento (veja Nanogeradores poderão gerar energia a partir do movimento do corpo humano).

Bombas flexíveis de carga

Seu criador, o Dr. Zhong Lin Wang, chama esses nanogeradores de "bombas flexíveis de carga," segundo ele mais uma opção para a conversão de energia mecânica em energia elétrica.

Com a grande vantagem de suas dimensões muito pequenas, o que as torna adequadas para operar em equipamentos médicos, sensoriamento, monitoramento ambiental e na eletrônica pessoal.

A nova versão do nanogerador produz uma corrente alternada de até 45 miliwatts por módulo, convertendo quase 7% da energia mecânica aplicada aos fios de óxido de zinco diretamente em eletricidade.

Problema da infiltração de umidade

A vantagem desta nova geração é que as nanobombas geradoras de carga elétrica não dependem mais de um contato intermitente entre os nanofios de óxido de zinco e os eletrodos, o que simplificou sua fabricação e aumentou enormemente sua vida útil.

"O novo design é mais robusto, eliminando o problema da infiltração de umidade e o desgaste das estruturas. De um ponto de vista prático, esta pode ser uma vantagem essencial," explica Wang.

É possível obter maiores tensões e correntes elétricas construindo-se diversos nanogeradores e fazendo-os operar em série ou em paralelo. Devido às suas minúsculas dimensões, é possível embuti-los entre as fibras dos tecidos das roupas, nos sapatos, ou mesmo diretamente no corpo humano.

Fonte: Nature Nanotechnology





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Nota: No natal estive conversando com meu tio projetista. E ele me falou de uma idéia que já teve no passado, da qual poderíamos aproveitar as ruas, calçadas, pisos, chãos de shoppings, estradas; de modo a coletar energias de tais. Se produziria algum tipo de sensor, ou equipamento ali, no chão; de modo, que aos carros passarem por cima, as pessoas pisarem, a cada impacto que tais receberem tal energia é convertida em energia elétrica e enviadas para algum tipo de gerador ou armazenador de carga. Imagina o quando de energia se produziria por tal processo?

Era apenas uma idéia, sem nenhum modelo ou protótipo. Mas já fazem alguns anos que já há tecnologia para isso, principalmente quanto aos nanogeradores. Imagine colocar tais nanogeradores na sola do sapato, chinelo, no tecido da roupa, no capacete, na bicicleta, nos automóveis; de modo a aproveitar a energia eólica promovida pelo vento, sendo que tais geradores estivessem na pintura do carro ou no capacete do ciclista. Aproveitar toda energia de impacto; de modo que tais até mesmo substituissem os "amortecedores", transformando todo o impacto em energia elétrica. Como também aproveitando todo o calor.

Esses novos nanogeradores podem produzir 45 miliwatts por módulo. Então suponha que haja apenas uns 5 milhões desses módulos na sua roupa e calçado. Apenas com tais, você produziria:

45 x 5.000.000 / 1.000
= 45 x 5.000
= 225.000 watts
= 225 kw

Uma quantia bem razoável, suficiente para abastecer várias coisas na sua casa. E se for pensar isso numa escala maior. É uma produção astronomica, quanda feita em massa. E caso também aproveite os meios de transportes para gerá-los. Aliás, imagine se cada tecla do teclado tivesse alguma tipo de mecanismo para gerar energia através de força aplicada pelos seus dedos ao digitar. Certamente uma quantia boa de energia seria produzida apenas por um grande escritório num mês.

O problema é que está havendo uma enorme falta de investimento nessas pesquisas, entre outras, de modo a serem conclusivas e praticáveis, assim produzidas e usadas, em pouco tempo. A nanotecnologia, por exemplo, já possuí diversas aplicações interessantes. Já há roupas 100% impermeáveis a água não ao ar; que manda o suor para fora deixando-o seco; entre diversas outras; mas que certamente ainda demorará um bom tempo para chegar em boa oferta aos consumidores.

E enquanto isso, gastam milhões de dólares na produção de filmes que não tem NADA a acrescentar para a sociedade, pelo contrário, destruir; como o "Batman: O Cavaleiro das Trevas" que assisti ontem. Milhões com contratos para jogadores ficarem chutando uma bola para lá e para cá. Enquanto isso, pesquisadores com ótimas idéias, precisam recorrer a "bolsas" que deixam a desejar para manter a vida enquanto promove pesquisas e estudos; e também faltando recursos para se ter um melhor exito e velocidade no desenvolvimento da pesquisa.

Milhares de toneladas da atmosfera são perdidas no espaço anualmente

[Imagem: NASA/ESA]

Vento Polar
A idéia que se tinha da Terra como uma esfera fechada, apenas recebendo um afluxo contínuo de partículas cósmicas e solares, acaba de ser desfeita. Um processo constante de troca com o espaço exterior ejeta milhares de toneladas de gases da atmosfera em direção ao espaço a cada ano, através de um processo chamado vento polar.

O vento polar mais se parece com uma suave brisa que impulsiona íons de hélio, hidrogênio e oxigênio para as altas camadas da atmosfera. Esse fluxo já havia sido medido por satélites de baixas altitudes, mas os cientistas não sabiam que rumo ele tomava acima dessas altitudes. Acreditava-se que ele de alguma forma retornava em direção à superfície da Terra.

Sem ameaças à atmosfera
Agora, um grupo de cientistas suecos e norte-americanos, utilizando dados dos satélites do European Clusters, descobriu que o vento polar continua indefinidamente em direção ao espaço. As medições detectaram a presença do vento, levando as partículas de hélio, hidrogênio e oxigênio, numa altitude quase 10 vezes maior do que o diâmetro da Terra.

"O vento polar não representa uma ameaça à atmosfera," explica o coordenador do estudo, Erik Engwall. Mesmo alcançando cifras de milhares de toneladas anuais, o vento polar não representará nenhuma alteração radical em nossa atmosfera mesmo levando em consideração todo o tempo de vida que ainda resta ao Sistema Solar.

Fonte: Inovação Tecnológica

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Nota: A idéia da gravidade é algo que me facina. Sempre pensei numa idéia mais complexa "o que seria a camada mais externa do planeta Terra?", e também pensava "Por que a atmosfera, o ar, não é atraindo, puxado, pelo vácuo do espaço?" E também ao entender um pouco mais sobre o efeito da gravidade lunar sobre a Terra, ficava pensando, se tal promove uma deformação na forma da atmosfera, na região mais próxima à Lua. Bem, mas aí está algo que mostra que as coisas na Terra não são tão fixas. Apesar que mesmo a idéia da gravidade ainda ser um grande mistério. Contudo, se o planeta perde toneladas por ano; também vale lembrar que ela recebe toneladas de diversos tipos de particulas e de lixo espacial que entram na nossa atmosfera.

Teorema de Taylor - Demonstração

O leitor pediu então aqui estou colocando uma demonstração do Teorema de Taylor. Contudo, está extremamente formal, é preciso ler com bastante atenção e concentração cada passo e o que cada detalhe significa. Pois, devido a ser algo complexo, e a correria do dia-dia, não tive muito tempo para analisar e explicar de forma bem didática e simples, para um público não acostumado com a linguagem matemática. Talvez outro dia eu faça. Pois de fato, só de digitar todo esse texto em linguagem matemática já foi uma trabalheira. Mas espero que possam apreciar essa demonstração, dar sugestões, criticas. Ele é baseado na demonstração que o professor PhD Luis Fishman me dera em Cálculo 2, no IME-USP.

Demonstração

condições
f e g tem D e Im reais. Quando x --> f(x) sendo que x pertence aos reais.
p, j e n são constantes.
p є D --> vizinhança de p.
f e g têm contato de grau n em p. De modo que:



Agora, caindo, encontrando o Polinômio de Taylor temos:








Conforme quis demonstrar. - c.q.d.



Veja também: Série de Taylor

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Nota: Aqui apenas visei provar, demonstrar o Teorema de Taylor, de forma genérica. Há diversas outras propriedades conseqüentes, algumas, muito importantes e interessantes, como calcular o Erro, de modo a ter uma precisão calculada que lhe satisfaça as exigências, entre outros. Mas isso fica para uma outra ocasião.