Provando que a dizima periódica 0,999| = 1

Existem diversos métodos para se provar isso. Usarei um método bem interessante e explicito, no qual se usa PG e limit.

Podemos descrever a dizima periódica o,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 eetc. Da seguinte forma:

Colocando de forma fracionária, e colocando o coefiente 9 em evidência, temos:

Repare dentro dos parenteses, que a soma das frações é a soma de uma PG, de modo que a soma tende para infinitas parcelas a serem somadas, com o n tendendo ao infinito. Portanto, para calcular o valor, basta fazermos 9x(soma da pg), quando n tende ao infinito.
Para sabermos quando a soma de uma PG vai para o infinito, basta fazermos um limite da equação, com o n tendendo ao infinito, já que a1 e q são constantes.

Já temos tudo estruturado, agora, basta fazermos a conta.

Repare, que a fração 1/10 sendo que no 10 temos um expoente n tendendo ao infinito. Seu limite é zero. Para entender isso, esboce o gráfico de uma f(x)= 1/x, e repare no que acontece quando o x cresce, quando vai para o infinito; ele se aproxima de do eixo x, ou seja, sua imagem tende a zero. Ou seja, seu limit no infinito é zero. O mesmo acontece com 1/10, pois como o expoente vai crescendo, se tem frações cada vez menores: 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000... e por ai vai, ou seja, é o número 1 dividido por um número cada vez mais astronomico em grandeza; no infinito, seu limite é zero.

Então, fazendo as contas, chegamos no resultado 1.

Assim, prova-se que 0,999 = 1

Além do Big Bang

Na última noite ao chegar da faculdade, assisti das 1h - 3h (madrugada) um documentário - de uma série - que começou a ser apresentada pelo The History Channel: "Além do Big Bang", que tem por volta de 2horas de duração.

Bem, como era de se esperar, apesar de ser do The History Channel - parece que a produção não é de tal - a perspectiva do filme é totalmente neopositivista; eu diria que até de forma extrema, devido a forma como que o documentário foi feito. As músicas, edição das entrevistas lembra muito a ideologia medieval, só que ao invés do vaticano estar sendo adorado, da igreja ser idolatrada; dessa vez é a Ciência que assume um papel de faraó e os cientistas colocados como papas.

Apesar de tudo, fiquei muito impressionado pela didática e narrativa; muito boa mesmo. Os efeitos gráficos simplesmente excelentes. De forma que fica simples de entender essa abordagem histórica da história da astronomia. Aliás, foi a melhor explicação análoga que já tive da idéia do "espaço-tempo" de Einstein. Contudo, em nenhum momento mostra como são as coisas matemáticamente, os cálculos etc; pois certamente, poucos seriam o publico alvo. Tal documentário busca apenas dar uma geral na história, na evoluçaõ do pensamento da astronomia e cosmologia. Com o publico alvo, leigos. É um daqueles que tem bem a cara de passar no Fantástico (jornal da Rede Globo), só que como é documentário não será.

Foi um dos mais felizes documentários, em não buscar expecular a questão do Big Bang. Pois há muita gente por ai mal entendida que não entende nada sobre o Big Bang. E falam claramente, que a Teoria do Big Bang não fala sobre o que explodio (o que era aquilo - apenas no decorrer do documentário, mostra o provavel modelo do tamanho da coisa, ele como as 4 energias estavam ligadas); não se sabe, não explica a causa da explosão, o por que explodiu; tão pouco fala sobre como era antes. Mas o que aconteceu com a explosão, como evoluiu, se expandiu o Universo com a explosão.

O documentário perdeu num ponto. Foi quando falou sobre o geocentrismo, não falou da origem da teoria, que é atribuida ao Aristóteles, Grego, não cristão mas pagão. E a forma como o documentário coloca a questão, atribui o geocentrismo a Bíblia. E depois coloca como o heliocentrismo sendo um modelo contra a Bíblia. Quando, na verdade, a Bíblia não fala nem de uma nem de outra, e muito menos transmite qualquer idéia de colocar a Terra ou o Sistema Solar como centro do Universo. Mas sim, a Igreja Católica, no período Medieval usava esse dogma, que herdaram com a fusão do paganismo Romano, no qual temos o modelo de Aristóteles.

Outra falha do documentário, perdendo a oportunidade de ser imparcial, foi a forma como falou dos grandes icones da ciência astronomica que eram cristãos. Em alguns casos, como Newton e Einstein não é nem mesmo mecionado que acreditavam em Deus, nem mesmo o forte relacionamento que Newton tinha com Deus. Já, os do periodo medieval, como Kleper, Galileu, Copérnico, foram colocados como "opositores da Bíblia", mas que temiam a ideologia católica, a igreja católica. De forma, como se tais pessoas não tivessem contato com a Igreja Católica, de modo algum seriam cristãos. Não fala isso, e claro não é a realidade, mas induz a esse "insight".

Contudo, o mais absurdo foi adoração à Ciência, levando-a ao estado de Deus e de verdade absoluta e oniciente. Pois, diz que tal compreende perfeitamente o Universo e como ele funciona. Aquela idéia que pode simplesmente explicar tudo, com verdade absoluta.

Algo que não ficou legal no documentário, foi umas abordagens pessoais e subjetivas. Colocando Einstein como um covarde por não acreditar no que sua teoria apontava - expansão ou diminuição e a busca da origem - pois ele cria num Universo estável e infinito. Dessa forma, neganto todas as possiblidades, mas pegando uma possibilidade como "a grande verdade". Vai ver Einstein conseguia enxergar algo mais longe, mas não conseguia demonstrar nem encontrá-la matematicamente, ou então, percebia que havia algo inconsistente e duvidoso na idéia da expansão e diminuição, com também da criação do Universo. Entre diversas outras possibilidades. Só porque muitos aderiram a um postulado, e a elevaram como verdade absoluta, e por Einsten não crer em tal, vão chamá-lo de covarde?

Felizmente, o filme abordou uma das questões mais importantes quanto a questão das origens: "Se não sabemos de onde viemos, não sabemos quem somos." Biblicamente, temos por origem a Criação de Deus, criaturas do Senhor, com diversos propósitos, uma história, objetivos, futuro etc. E sabemos também porque o mundo é como é, o motivo de estarmos aqui, e o que devemos fazer aqui. Já a Teoria do Big Bang, nos coloca como obra do acaso que contradiz todas as verdades biblicas quanto a essa questão. Contudo, o documentário não aborda as questões filosóficas implicadas nessa questão; que são graves.

Teve uma declaração do documentário, que mostra claramente seu caráter neopositivista; de modo que busca colocar como a ciência e a religião de forma incompativel, a fé e a razão também; os cientistas e os religiosos também. Colocando a Ciência e a Igreja como se fossem Satanás e Cristo. Disse assim: "Algo que intriga e é estranho: Que os precursores de idéias cientificas das origens e do Big Bang, eram cristãos, padres." Coloca isso como se fosse um absurdo total. Que era um padre, um crente, e não um ateu que propos o modelo do Big Bang; como se fosse o time adversário que marcou o gol. Mas percebe uma certa ignorância nessa idéia, pois praticamente a grande maioria dos personagens apresentados no próprio documentário eram crentes. Até onde se percebe, o maios espaço que os céticos e ateus tiveram, foram no de fazer comentários; apesar de não saber quem eram, mas se percebia na fisionomia de alguns que eram.

Mas logo, em seguida, declara o "preconceito cientifico" que muitos cientistas (anti-cristaos) tiveram para os cientistas religiosos. Mostrando que tais ficaram muito desconfiados de suas teorias, nem tanto por elas em si, mas porque os autores eram cristãos.

Depois fala do umas coisas super interessantes, da Teoria do Estado Estacionário, o Universo infinito, que se ligava melhor com a idéia de Einstein. Mas que após, perceberam que tal teoria e a do Big Bang se encaixavam perfeitamente, apenas tirando a questão de que o Universo é infinito, tal é considerado totalmente refutado, fora de discussão, o Universo é finito e fora criado.

Até que falaram sobre a "Prova Definitiva do Big Bang". Que é o que chamam do "eco do Big Bang" - A Radiação Cósmica de Fundo - uma radiação onipresente em todo Universo. Tal fora a prova definitiva de que o Universo não é eterno. Definitiva, porque alguns cientistas já haviam propostos anteriormente de que tal coisa existia, e que era, a grosso modo, "o som da explosão". Contudo, o documentário não menciona sobre as "contradições" dessa teoria, cientistas que proporam outras explicações para tal fenomeno. E eu, particularmente, considero uma atitude equivocada e desesperada dizer que é a "prova definitiva", ou seja, de que por haver tal radiação, não há mais qualquer dúvida, o Big Bang aconteceu e fim de papo. Ao meu ver, há n possibilidades. Ao meu ver é um dogma cientifico, tão quão muitos dogmas católicos. "O papa falou é verdade absoluta e fim de papo, por isso e isso."

Com essa "prova definitiva", diz, que fora possível avaliar como que o Universo expandiu e esfriou (e ai entra aquela idéia das Leis da Termodinâmica, mas não foram faladas). Um dos pontos importantes, enfatizados no documentário, é que a Ciência, a Teoria do Big Bang em geral declara, como verdade absoluta, que o Universo se esfriara, e que tiveram uma origem, uma criação. O que seria bom, para muitos céticos, ateus e "anti-Deus em geral" que se auto-declarão conhecer a Teoria da Evolução e do Big Bang, que falam algumas bobagens - como dizer que o Universo é infinito e que não fora criado - aprenderem.

Aí, entra novamente o pensamento neopositivista no documentário, ao dizer que "A Teoria do Big Bang foi aceita em uniminidade por todos os cientistas do mundo". [sic]. Essa deu vontade de tossir, de pular do sofá. Há até mesmo outras teorias propostas, e outras sendo desenvolvidas, e um punhado de cientistas que não colocam sua mão no fogo por tal teoria. Aí, o interessante, mas que não foi abordado pelo filme, é de que "os opositores" são considerados como hereges da ciência; uma clara conduta de Impostura Intelectual, a mesma natureza da Santa Inquisição.

Depois, aborda uma questão, que, eu particularmente não conhecia. Que uma das grandes "interrogações" da Teoria do Big Bang, era o fato de em qualquer ponto do Universo a temperatura é a mesma, constante (não se pode confundir com a outra questão de que o Universo está esfriando). Até faz a seguine explicação o documentário: "Se você pegar um balde de água fria bem largo, e jogar no centro dele agua quente, e colocar um dedo em cada extremidade do balde e outro no centro; perceberá que irá demorar para a temperatura quente chegar as extremidades e se tornar constante a superficie. O mesmo no Big Bang, se explodiu, a região mais central do Universo deveria ser mais quente que a região periférica."

Então, surgiu uma outra incrivel teoria "A Inflação da Luz", ou a "Hyper-Expansão". Que é a idéia de que a criação do Universo, com a explosão, foi super rápido. E que houveram etapas nessa explosão, ai tem umas idéias um pocado abstratas, que o filme não conseguiu ser tão didático como as demais. Onde as 4 formas de energia que se interagem: Gravitacional, eletromagnética, a fraca e a forte. Eram unidos, naquela coisa que explodiu, e que mesmo após a primeira explosão, ainda outros dois estavam unidos; e que nesse tempo, as intereções de tais, eram muito mais velozes do que a da velocidade da luz. Então, a expansão super rápida do Universo explicaria o a razão pela qual a temperatura é igual em todo "volume"(vamos assim dizer) do Universo.

Então, já no final do documentário. Ele faz uma rapisódia cronológica e super dogmática. De como, ao passas dos anos (e quantos anos) o Universo era e tals. Quando surgiu a Terra. E aí fala, que o constante impacto de meteoros com a Terra, produziu condições para surgir água na superficie da Terra, e que ai surgiram os primeiros seres vivos na água, e ai vem as idéias da Teoria da Evolução. Que, ao meu ver, estragou o documentário. - Algo que me intriga nesse postulado, é que uma amiga, estudante de Biologia na USP, me falou que a "idéia do meteoro ter feito surgir a vida" fora refutada.

John Mather & George Smoot, ganhadores do Premio Nobel de Física em 2006, pela "descoberta da anisotropia da radiação cósmica de fundo, na zona do dos micro-ondas". Tal trabalho foi estudado e discutido pelo prof. Dr. Miguel Ferreira, Universidade dos Açores, e no final, se teve uma declaração importante, que também não foi abordada no documentário: "O modelo do Big-Bang não responde a diversas questões - teorias de inflação, defeitos topológicos, variação das constantes da natureza e dimensões extra..." (fonte: Explorando os Prêmios Nobel)

Parece que na próxima semana, quarta-feira, o próximo episódio, falará sobre a Teoria da Evolução, sobre a Terra, a Lua, e o homem. Apesar de já saber muito o que esperar, creio que não vou perder.

No final, o filme faz a sua declaração antropocentrista: "É o resultado de "mentes humanas", de impressionar qualquer um." Eu só não sei onde é que impressiona qualquer um. E também não sei porque todo esse "triunfo" pelo ser humano ter desenvolvido tal teoria. O que vejo sim são tentativas de impor pensamentos de culto a Ciência, de adoração a Teoria do Big Bang, de modo tentando substituir a religião (Deus); tentando buscar esse "ingrediente espécial de felicidade" que há na religião, e tentar implantá-la na Ciência.

Aí fala, sobre o fim da Terra e da humanidade. Só que como consequencia do esfriamente do sol, que, o faz expandir mais, e dessa forma, literalmente a Terra é fritada. E depois, sobre uma teoria que eu não conhecia, a do "Legado da Energia Escura" o Big Crunch (se não me engano). Que toda a materia, planetas, estrelas, galáxias... deixariam de existir etc. Há muitas expeculações quanto a isso; como uma possibilidade de daí, o Universo de retrair, e formar de novo a coisa, que depois seria um novo Big Bang; talez, sendo "a constante" que o Einstein procurava. Talvez, tais sejam melhor abordadas nos próximos capitulos, parece que são 6 ao todo, se me falha a memória.

Por fim, tenta mostra o "entusiasmo" com essas perspectiva de Big Bang. E de que devemos ser super felizes, etc. Porque conseguimos "descobrir" que somos resultado de poeira cósmica e que logo deixaremos de existir. Foi só eu que percebi o "contraditório" nessa perspectiva? Creio que não. Expectiva quando acabam tais? Espença na desesperança? Valor, moralidade, quando todas as suas bases e origens são negadas? Tenta se descobrir de onde viemos para saber quem somos, coloca umas perspectiva de que "encontramos", e eis que não somos nada. E ai, tenta trazer uma idéia de triunfo nisso? Eu vejo sim, um vazio, depressão, e um "Big Bang" de implicações a seres discutidas.

.....

Considerações Finais

Bem, ontem mesmo, de tarde assisti no próprio THC, um documentário, "Filhos de Galileu", falando sobre os jezuítas e grandes astronomos. E a forma, como a ICAR (Igreja Católica Apostólica Romana) está reconsiderando a Bíblia e o Criacionismo, de modo que negam a verdade explicita na Bíblia, dizendo que tal é apenas simbólica, apenas quer trazer uma idéia, de que a Criação Bíblia de modo algum é literal. E sim buscando adaptar a Teoria do Big Bang e a da Evolução a fé católica.

Se estou supreso por isso? Não. Deus já havia me revelado, como a muitos outros, o que acontecerá com a ICAR, sua tendência, a questão do Criacionismo e da pseudo-ciência. Além, de ser um fato de que padres católicos, cientistas, terem sido os que desenvolveram em grande parte a teoria do Big Bang. Percebe-se também essa idéia da ICAR buscando tornar-se um lider mundial, não somente pelo ecumenismo, mas procurando até mesmo alcançar os cientistas céticos e ateus, de modo que suas teorias se adaptam com a ICAR.

Tenho muitas idéias particulares quanto a Teoria do Big Bang e expeculações. Mas não coloco a mão em nenhuma delas, muito menos nessa defendida pelo documentário. Creio que com o tempo, as coisas vão se esclarecendo aos poucos, conforme mais perguntas surgirão.

Também, como a questão do Criacionismo será a grande questão chave no futuro. Incluso na questão do Decreto Dominical, no qual, ou as pessoas irão guardar o domingo ou o sábado. Temos, na verdade, a questão: Ou adorar a ICAR com a Sua Teoria Anti-Criação ou adorar o Deus Criador da Bíblia.

Nesse documentário, pude perceber uma coisa que não havia percebido muito antes. Alguns, sabe lá raios por quê, atribuem a Teoria do Big Bang aos ateus, céticos... Quando, olhando bem o documentário, se percebe que a teoria deve ser atribuida aos padres católicos. Isso abriu uma nova porta de como ver a questão.

Recomendo o documentário a todos que não conhecem de A até B a Teoria do Big Bang e que se interessam pela questão. Ao mesmo tempo, que rogo para que despertem a razão e análise critica, de modo a poder havaliar bem todo o documentário e o conteúdo apresentado; e para correr menos o risco de acabar sendo dogmatizado, ou pior ainda, de adorar a Ciência.

Método do Castilho: Resolvendo Sistema Qualquer

Um professor brasileiro, Castilho, preocupou-se em buscar um método para resolver os mais diversos tipos de sistemas, de forma genérica, e o mais simples possível. E conseguiu desenvolver um.

Primeiro, apenas para ilustrar o método, vamos usar um sistema de 2 equações com 3 variáveis (x, y, z); por tanto, as demais letras são constantes.

I) ax + by + cz = d
II) ex + fy + gz = h

O primeiro passo, é buscar sumir com uma variável, no caso x. Isso faremos uma espécie de mínimo divisor comum entre as duas equações. E apenas, para fins didáticos, considerarei (-ex) e (+ ax), mas não há problema algum em inverter os sinais.

I) ax + by + cz = d .(-ex)
II) ex + fy + gz = h .(+ax)

I) -aex² - bexy - cexz = - dex
II) aex² + afxy + agxz = ahx

Agora, somamos os dois sistemas, satisfazendo a igualdade aex².

(aex² - aex²) + (afxy – bexy) + (agxz – cexz) = (ahx – dex)

Resolvendo:

0 + afxy – bexy + agxz – cexz = ahx – dex

Perceba que a variável x é comum a todos os fatores. Então, denominaremos x um denominador comum a todos, de modo a poder simplificar o sistema, extinguindo a variável x.

x(afy – bey + agz – cez) = x(ah – de)

então

afy – bey + agz – cez = ah – de

Agora, podem colocar as variáveis em evidência.

(af – be)y + (ag – ce)z = (ah – de)

Aqui, foi um dos momentos mais surpreendentes. Castilho, percebeu que as constantes entre parênteses é o determinante de uma matriz 2x2.

Percenbendo-se, que deste modo se obtem uma nova equação:

my + nz = q

Sendo que as constantes, m, n e q são os determinantes de uma matriz 2x2 das constantes originais.

Analisando bem o método. É meio intuitivo perceber, que ele pode ser repetido. Caso o sistema tivesse 3 equações, ter-se-ia duas equações de duas variáveis (y, z), de modo que repetindo o caso, ter-se-ia apenas uma equação com a variável z; o que facilmente se encontra o valor de z, e depois por substituição encontra-se as demais variáveis. E não importa quantas sejam as variáveis ou o tamanho do sistema, você sempre estará reduzindo as variáveis e apenas terá que trabalhar com o determinante de uma matriz 2x2 que é super simples. Sinceramente, creio que esse método é mil vezes melhor do que o famoso método de Crammer.

Vejamos agora um exemplo, para entender como funciona o método, desenvolvido por Castilho, na prática:

Sistema:
I) x + y + z = 9
II) x + 2y + z = 11
III) 2x – y – z = 0

(é um sistema que dá até para resolver de cabeça, mas apenas busca ilustrar o método).

Castilho transformou o método numa tabela, no qual se joga os dadas do sistema e do método:

Cada linha corresponde as equações (I, II e III). As colunas x, y, z, correspondes aos algarismo contidos nelas. TI refere-se ao valor da constante da igualdade de variável n0. E CC corresponde a soma dos valores da linha. Contudo, um grande mistério fica-se em torno de CC, pois não sei sua utilidade.
Agora, é só formar uma nova tabela, usando-se dos determinantes da matriz 2x2.

Portanto, tem-se:

-3z = - 12
Então, z = 4

Na primeira equação de 2 variáveis, já temos que: y = 2.

Numa equação de 3 variáveis, temos então:

x + y + z = 9
x + 2 + 4 = 9
x = 9 – 6
x = 3

Portanto: S = (3, 2, 4)

....

Esse método é super interessante pois nos faz lembrar um pouco do Brio Ruffini para resolver polinômios. É simples por apenas tratar de determinantes matrizes 2x2. A organização em colunas facilita a visualização e organização dos processos. E é simples e rápido, poucas passagens e contas; se for comparar com outros métodos para o mesmo.

Pensando algoritmicamente, é muito útil para engenheiros que tem que trabalhar muitas vezes com um sistema enorme, de muitas equações e varias variáveis. De modo que podem escrever um algoritmo num programa em C, Java etc. Que faça tais contas, de modo que até mesmo facilitará para o programa fazer a conta mais rápido; o que em grandes escalas pode fazer a diferença.

Contudo, é importante notar que o exemplo, trata-se de um sistema possível e determinado (SPD), no caso de indeterminado (SPI), ter-se-á valores zeros muitos determinantes. E caso for SI, impossível, certamente haverá alguns absurdos nos números. E pelo que pude verificar, tal método é apenas confiável para sistemas lineares.

E o enigma continua: Qual a finalidade de CC?

Aplicações de Integral: Volume - Método das Fatias

Há muitos objetos nos quais não são possíveis calcular seu volume exato, ou mesmo área, usando de métodos simples, como “Base x Altura”; porque há “curvas”, “deformações”, inclinações, entre outros, de modo, que o mais próximo seria aproximar de modo “ad infinitum” do seu volume exato.Com a evolução da matemática, especialmente com Isaac Newton, o qual consolidou melhor o Cálculo Diferencial e Integral, hoje, podemos encontrar precisamente a área e volumes de tais objetos, usando-se da Função Integrante.

O Cilindro Reto

Temos uma circunferência simples, assumindo o papel de “base” do objeto. Olhando por um ponto de vista perpendicular/ortogonal ao plano no qual pertence essa circunferência, temos essa visão.

Para calcular a área dessa figura, no caso um circulo, usamos A = π.r²

Fazer uma “extrusão” de tal base até uma altura H, teremos então um cilindro. Seria como pegar uma carta de baralho (base), e então colocar várias uma em cima da outra, de forma a manter a mesma forma, até uma altura H.

Para calcular o volume desse objeto, um cilindro, basta multiplicarmos a área da base pela altura: V = Abase x H

O mesmo para um livro, pegue a área da base, ou seja, de uma folha, e multiplique pela altura formada, no caso a espessura do livro – o número de páginas vezes a espessura da folha.

O mesmo ocorre no caso abaixo, sendo a base um quadrado.

Então, não importa qual seja o formato da base, o volume, será sempre a área da base vezes a altura do sólido. Há os outros objetos, como esferas, cônicas entre outras que o mesmo não vale; estamos tratando do caso cilíndrico – Princípio da Extrusão. Nos demais casos, a formato da base varia conforme a altura, ou seja, a área não é fixa mas é uma função variável. Veremos a seguir, que mesmo para tais, podemos calcular o volume do mesmo modo, Abase x Altura, só que a Abase = f(x), e a altura.

Sólido de Revolução

Para uma f(x), em R.

Podemos fazer um sólido de revolução, que seria girar tal imagem, em torno de um eixo qualquer. No caso, giraremos em torno do eixo x:

Pode-se reparar, que qualquer plano perpendicular ao eixo x, a sua intersecção com o gráfico (a figura, sólido) formado, será algo circular. Pois, na revolução, o que se faz é pegar um ponto f(x) e girar (360º ou 2 ) em torno de um centro, no caso, x. Com isso, se tem uma circunferência.

Como se pode ver. Analisando a intersecção do plano possuí um formato de um círculo. Mas num caso genérico. Supondo que não sabemos que o formato é um círculo, simplesmente podemos dizer, que a figura formada tem uma área, A(x).
Para saber o volume de tal sólido. Basta somarmos todas as áreas da base – os círculos – pela altura – de a até b, ou seja: H = b – a .

Como vimos anteriormente, para calcular o volume, temos que pegar área da base, A(x), e multiplicar pela altura. Agora, a situação é que a base é uma função f(x). Então, “A(xi ). ”é o mesmo que a “A(x).H” (área da base x altura). E nisso teremos o volume de cada um desses minúsculos segmentos. Então, o volume total, seria a soma de todos os volumes desses segmentos:

Isso é “A Soma de Riman.”
Para incluir os segmentos, de modo “ad infinitum”, pois há infinitos "xi" dentro de Δx. Para isso, fazemos o limite da soma de Himan, quando o tamanho da partição (ρ) tender a zero. O que resulta na Integral.

>>> Esse é denominado como “Método das Fatias”, para encontrar volume.

Nos casos de Revolução, a área das fatias, será a área de um circulo. No qual o raio é a imagem, f(x), em x. O que você pode facilmente verificar. Com isso, A(x) = π.f(x)². Então, o volume de sólidos de revolução, pode-se escrever como:Exemplo:

A função: f(x) = √x , no intervalo [0, b]



Fazendo a revolução desse gráfico, em torno do eixo x, obtemos:



(fatiando...)

No qual o raio é a própria imagem de x, ou seja, f(x)= √x. Então, a área dessa circunferência é de π.(√x)² = π.x

Então, o volume do sólido, no intervalo [0, b], supondo que b = 1, é:

Agora, caso queira calcular a área dessa superfície. Ao invés de procurar saber a área dos círculos formados pelas fatias, calcule a borda, ou o comprimento da circunferência e integre.
C(r) = 2πr = 2π.√x = C(x)
Então: