Existem diversos métodos para se provar isso. Usarei um método bem interessante e explicito, no qual se usa PG e limit.
Podemos descrever a dizima periódica o,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 eetc. Da seguinte forma:
Colocando de forma fracionária, e colocando o coefiente 9 em evidência, temos:
Repare dentro dos parenteses, que a soma das frações é a soma de uma PG, de modo que a soma tende para infinitas parcelas a serem somadas, com o n tendendo ao infinito. Portanto, para calcular o valor, basta fazermos 9x(soma da pg), quando n tende ao infinito.
Para sabermos quando a soma de uma PG vai para o infinito, basta fazermos um limite da equação, com o n tendendo ao infinito, já que a1 e q são constantes.
Já temos tudo estruturado, agora, basta fazermos a conta.
Repare, que a fração 1/10 sendo que no 10 temos um expoente n tendendo ao infinito. Seu limite é zero. Para entender isso, esboce o gráfico de uma f(x)= 1/x, e repare no que acontece quando o x cresce, quando vai para o infinito; ele se aproxima de do eixo x, ou seja, sua imagem tende a zero. Ou seja, seu limit no infinito é zero. O mesmo acontece com 1/10, pois como o expoente vai crescendo, se tem frações cada vez menores: 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000... e por ai vai, ou seja, é o número 1 dividido por um número cada vez mais astronomico em grandeza; no infinito, seu limite é zero.
Então, fazendo as contas, chegamos no resultado 1.
Assim, prova-se que 0,999 = 1
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