Provando que a dizima periódica 0,999| = 1

Existem diversos métodos para se provar isso. Usarei um método bem interessante e explicito, no qual se usa PG e limit.

Podemos descrever a dizima periódica o,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 eetc. Da seguinte forma:

Colocando de forma fracionária, e colocando o coefiente 9 em evidência, temos:

Repare dentro dos parenteses, que a soma das frações é a soma de uma PG, de modo que a soma tende para infinitas parcelas a serem somadas, com o n tendendo ao infinito. Portanto, para calcular o valor, basta fazermos 9x(soma da pg), quando n tende ao infinito.
Para sabermos quando a soma de uma PG vai para o infinito, basta fazermos um limite da equação, com o n tendendo ao infinito, já que a1 e q são constantes.

Já temos tudo estruturado, agora, basta fazermos a conta.

Repare, que a fração 1/10 sendo que no 10 temos um expoente n tendendo ao infinito. Seu limite é zero. Para entender isso, esboce o gráfico de uma f(x)= 1/x, e repare no que acontece quando o x cresce, quando vai para o infinito; ele se aproxima de do eixo x, ou seja, sua imagem tende a zero. Ou seja, seu limit no infinito é zero. O mesmo acontece com 1/10, pois como o expoente vai crescendo, se tem frações cada vez menores: 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000... e por ai vai, ou seja, é o número 1 dividido por um número cada vez mais astronomico em grandeza; no infinito, seu limite é zero.

Então, fazendo as contas, chegamos no resultado 1.

Assim, prova-se que 0,999 = 1

Além do Big Bang

Na última noite ao chegar da faculdade, assisti das 1h - 3h (madrugada) um documentário - de uma série - que começou a ser apresentada pelo The History Channel: "Além do Big Bang", que tem por volta de 2horas de duração.

Bem, como era de se esperar, apesar de ser do The History Channel - parece que a produção não é de tal - a perspectiva do filme é totalmente neopositivista; eu diria que até de forma extrema, devido a forma como que o documentário foi feito. As músicas, edição das entrevistas lembra muito a ideologia medieval, só que ao invés do vaticano estar sendo adorado, da igreja ser idolatrada; dessa vez é a Ciência que assume um papel de faraó e os cientistas colocados como papas.

Apesar de tudo, fiquei muito impressionado pela didática e narrativa; muito boa mesmo. Os efeitos gráficos simplesmente excelentes. De forma que fica simples de entender essa abordagem histórica da história da astronomia. Aliás, foi a melhor explicação análoga que já tive da idéia do "espaço-tempo" de Einstein. Contudo, em nenhum momento mostra como são as coisas matemáticamente, os cálculos etc; pois certamente, poucos seriam o publico alvo. Tal documentário busca apenas dar uma geral na história, na evoluçaõ do pensamento da astronomia e cosmologia. Com o publico alvo, leigos. É um daqueles que tem bem a cara de passar no Fantástico (jornal da Rede Globo), só que como é documentário não será.

Foi um dos mais felizes documentários, em não buscar expecular a questão do Big Bang. Pois há muita gente por ai mal entendida que não entende nada sobre o Big Bang. E falam claramente, que a Teoria do Big Bang não fala sobre o que explodio (o que era aquilo - apenas no decorrer do documentário, mostra o provavel modelo do tamanho da coisa, ele como as 4 energias estavam ligadas); não se sabe, não explica a causa da explosão, o por que explodiu; tão pouco fala sobre como era antes. Mas o que aconteceu com a explosão, como evoluiu, se expandiu o Universo com a explosão.

O documentário perdeu num ponto. Foi quando falou sobre o geocentrismo, não falou da origem da teoria, que é atribuida ao Aristóteles, Grego, não cristão mas pagão. E a forma como o documentário coloca a questão, atribui o geocentrismo a Bíblia. E depois coloca como o heliocentrismo sendo um modelo contra a Bíblia. Quando, na verdade, a Bíblia não fala nem de uma nem de outra, e muito menos transmite qualquer idéia de colocar a Terra ou o Sistema Solar como centro do Universo. Mas sim, a Igreja Católica, no período Medieval usava esse dogma, que herdaram com a fusão do paganismo Romano, no qual temos o modelo de Aristóteles.

Outra falha do documentário, perdendo a oportunidade de ser imparcial, foi a forma como falou dos grandes icones da ciência astronomica que eram cristãos. Em alguns casos, como Newton e Einstein não é nem mesmo mecionado que acreditavam em Deus, nem mesmo o forte relacionamento que Newton tinha com Deus. Já, os do periodo medieval, como Kleper, Galileu, Copérnico, foram colocados como "opositores da Bíblia", mas que temiam a ideologia católica, a igreja católica. De forma, como se tais pessoas não tivessem contato com a Igreja Católica, de modo algum seriam cristãos. Não fala isso, e claro não é a realidade, mas induz a esse "insight".

Contudo, o mais absurdo foi adoração à Ciência, levando-a ao estado de Deus e de verdade absoluta e oniciente. Pois, diz que tal compreende perfeitamente o Universo e como ele funciona. Aquela idéia que pode simplesmente explicar tudo, com verdade absoluta.

Algo que não ficou legal no documentário, foi umas abordagens pessoais e subjetivas. Colocando Einstein como um covarde por não acreditar no que sua teoria apontava - expansão ou diminuição e a busca da origem - pois ele cria num Universo estável e infinito. Dessa forma, neganto todas as possiblidades, mas pegando uma possibilidade como "a grande verdade". Vai ver Einstein conseguia enxergar algo mais longe, mas não conseguia demonstrar nem encontrá-la matematicamente, ou então, percebia que havia algo inconsistente e duvidoso na idéia da expansão e diminuição, com também da criação do Universo. Entre diversas outras possibilidades. Só porque muitos aderiram a um postulado, e a elevaram como verdade absoluta, e por Einsten não crer em tal, vão chamá-lo de covarde?

Felizmente, o filme abordou uma das questões mais importantes quanto a questão das origens: "Se não sabemos de onde viemos, não sabemos quem somos." Biblicamente, temos por origem a Criação de Deus, criaturas do Senhor, com diversos propósitos, uma história, objetivos, futuro etc. E sabemos também porque o mundo é como é, o motivo de estarmos aqui, e o que devemos fazer aqui. Já a Teoria do Big Bang, nos coloca como obra do acaso que contradiz todas as verdades biblicas quanto a essa questão. Contudo, o documentário não aborda as questões filosóficas implicadas nessa questão; que são graves.

Teve uma declaração do documentário, que mostra claramente seu caráter neopositivista; de modo que busca colocar como a ciência e a religião de forma incompativel, a fé e a razão também; os cientistas e os religiosos também. Colocando a Ciência e a Igreja como se fossem Satanás e Cristo. Disse assim: "Algo que intriga e é estranho: Que os precursores de idéias cientificas das origens e do Big Bang, eram cristãos, padres." Coloca isso como se fosse um absurdo total. Que era um padre, um crente, e não um ateu que propos o modelo do Big Bang; como se fosse o time adversário que marcou o gol. Mas percebe uma certa ignorância nessa idéia, pois praticamente a grande maioria dos personagens apresentados no próprio documentário eram crentes. Até onde se percebe, o maios espaço que os céticos e ateus tiveram, foram no de fazer comentários; apesar de não saber quem eram, mas se percebia na fisionomia de alguns que eram.

Mas logo, em seguida, declara o "preconceito cientifico" que muitos cientistas (anti-cristaos) tiveram para os cientistas religiosos. Mostrando que tais ficaram muito desconfiados de suas teorias, nem tanto por elas em si, mas porque os autores eram cristãos.

Depois fala do umas coisas super interessantes, da Teoria do Estado Estacionário, o Universo infinito, que se ligava melhor com a idéia de Einstein. Mas que após, perceberam que tal teoria e a do Big Bang se encaixavam perfeitamente, apenas tirando a questão de que o Universo é infinito, tal é considerado totalmente refutado, fora de discussão, o Universo é finito e fora criado.

Até que falaram sobre a "Prova Definitiva do Big Bang". Que é o que chamam do "eco do Big Bang" - A Radiação Cósmica de Fundo - uma radiação onipresente em todo Universo. Tal fora a prova definitiva de que o Universo não é eterno. Definitiva, porque alguns cientistas já haviam propostos anteriormente de que tal coisa existia, e que era, a grosso modo, "o som da explosão". Contudo, o documentário não menciona sobre as "contradições" dessa teoria, cientistas que proporam outras explicações para tal fenomeno. E eu, particularmente, considero uma atitude equivocada e desesperada dizer que é a "prova definitiva", ou seja, de que por haver tal radiação, não há mais qualquer dúvida, o Big Bang aconteceu e fim de papo. Ao meu ver, há n possibilidades. Ao meu ver é um dogma cientifico, tão quão muitos dogmas católicos. "O papa falou é verdade absoluta e fim de papo, por isso e isso."

Com essa "prova definitiva", diz, que fora possível avaliar como que o Universo expandiu e esfriou (e ai entra aquela idéia das Leis da Termodinâmica, mas não foram faladas). Um dos pontos importantes, enfatizados no documentário, é que a Ciência, a Teoria do Big Bang em geral declara, como verdade absoluta, que o Universo se esfriara, e que tiveram uma origem, uma criação. O que seria bom, para muitos céticos, ateus e "anti-Deus em geral" que se auto-declarão conhecer a Teoria da Evolução e do Big Bang, que falam algumas bobagens - como dizer que o Universo é infinito e que não fora criado - aprenderem.

Aí, entra novamente o pensamento neopositivista no documentário, ao dizer que "A Teoria do Big Bang foi aceita em uniminidade por todos os cientistas do mundo". [sic]. Essa deu vontade de tossir, de pular do sofá. Há até mesmo outras teorias propostas, e outras sendo desenvolvidas, e um punhado de cientistas que não colocam sua mão no fogo por tal teoria. Aí, o interessante, mas que não foi abordado pelo filme, é de que "os opositores" são considerados como hereges da ciência; uma clara conduta de Impostura Intelectual, a mesma natureza da Santa Inquisição.

Depois, aborda uma questão, que, eu particularmente não conhecia. Que uma das grandes "interrogações" da Teoria do Big Bang, era o fato de em qualquer ponto do Universo a temperatura é a mesma, constante (não se pode confundir com a outra questão de que o Universo está esfriando). Até faz a seguine explicação o documentário: "Se você pegar um balde de água fria bem largo, e jogar no centro dele agua quente, e colocar um dedo em cada extremidade do balde e outro no centro; perceberá que irá demorar para a temperatura quente chegar as extremidades e se tornar constante a superficie. O mesmo no Big Bang, se explodiu, a região mais central do Universo deveria ser mais quente que a região periférica."

Então, surgiu uma outra incrivel teoria "A Inflação da Luz", ou a "Hyper-Expansão". Que é a idéia de que a criação do Universo, com a explosão, foi super rápido. E que houveram etapas nessa explosão, ai tem umas idéias um pocado abstratas, que o filme não conseguiu ser tão didático como as demais. Onde as 4 formas de energia que se interagem: Gravitacional, eletromagnética, a fraca e a forte. Eram unidos, naquela coisa que explodiu, e que mesmo após a primeira explosão, ainda outros dois estavam unidos; e que nesse tempo, as intereções de tais, eram muito mais velozes do que a da velocidade da luz. Então, a expansão super rápida do Universo explicaria o a razão pela qual a temperatura é igual em todo "volume"(vamos assim dizer) do Universo.

Então, já no final do documentário. Ele faz uma rapisódia cronológica e super dogmática. De como, ao passas dos anos (e quantos anos) o Universo era e tals. Quando surgiu a Terra. E aí fala, que o constante impacto de meteoros com a Terra, produziu condições para surgir água na superficie da Terra, e que ai surgiram os primeiros seres vivos na água, e ai vem as idéias da Teoria da Evolução. Que, ao meu ver, estragou o documentário. - Algo que me intriga nesse postulado, é que uma amiga, estudante de Biologia na USP, me falou que a "idéia do meteoro ter feito surgir a vida" fora refutada.

John Mather & George Smoot, ganhadores do Premio Nobel de Física em 2006, pela "descoberta da anisotropia da radiação cósmica de fundo, na zona do dos micro-ondas". Tal trabalho foi estudado e discutido pelo prof. Dr. Miguel Ferreira, Universidade dos Açores, e no final, se teve uma declaração importante, que também não foi abordada no documentário: "O modelo do Big-Bang não responde a diversas questões - teorias de inflação, defeitos topológicos, variação das constantes da natureza e dimensões extra..." (fonte: Explorando os Prêmios Nobel)

Parece que na próxima semana, quarta-feira, o próximo episódio, falará sobre a Teoria da Evolução, sobre a Terra, a Lua, e o homem. Apesar de já saber muito o que esperar, creio que não vou perder.

No final, o filme faz a sua declaração antropocentrista: "É o resultado de "mentes humanas", de impressionar qualquer um." Eu só não sei onde é que impressiona qualquer um. E também não sei porque todo esse "triunfo" pelo ser humano ter desenvolvido tal teoria. O que vejo sim são tentativas de impor pensamentos de culto a Ciência, de adoração a Teoria do Big Bang, de modo tentando substituir a religião (Deus); tentando buscar esse "ingrediente espécial de felicidade" que há na religião, e tentar implantá-la na Ciência.

Aí fala, sobre o fim da Terra e da humanidade. Só que como consequencia do esfriamente do sol, que, o faz expandir mais, e dessa forma, literalmente a Terra é fritada. E depois, sobre uma teoria que eu não conhecia, a do "Legado da Energia Escura" o Big Crunch (se não me engano). Que toda a materia, planetas, estrelas, galáxias... deixariam de existir etc. Há muitas expeculações quanto a isso; como uma possibilidade de daí, o Universo de retrair, e formar de novo a coisa, que depois seria um novo Big Bang; talez, sendo "a constante" que o Einstein procurava. Talvez, tais sejam melhor abordadas nos próximos capitulos, parece que são 6 ao todo, se me falha a memória.

Por fim, tenta mostra o "entusiasmo" com essas perspectiva de Big Bang. E de que devemos ser super felizes, etc. Porque conseguimos "descobrir" que somos resultado de poeira cósmica e que logo deixaremos de existir. Foi só eu que percebi o "contraditório" nessa perspectiva? Creio que não. Expectiva quando acabam tais? Espença na desesperança? Valor, moralidade, quando todas as suas bases e origens são negadas? Tenta se descobrir de onde viemos para saber quem somos, coloca umas perspectiva de que "encontramos", e eis que não somos nada. E ai, tenta trazer uma idéia de triunfo nisso? Eu vejo sim, um vazio, depressão, e um "Big Bang" de implicações a seres discutidas.

.....

Considerações Finais

Bem, ontem mesmo, de tarde assisti no próprio THC, um documentário, "Filhos de Galileu", falando sobre os jezuítas e grandes astronomos. E a forma, como a ICAR (Igreja Católica Apostólica Romana) está reconsiderando a Bíblia e o Criacionismo, de modo que negam a verdade explicita na Bíblia, dizendo que tal é apenas simbólica, apenas quer trazer uma idéia, de que a Criação Bíblia de modo algum é literal. E sim buscando adaptar a Teoria do Big Bang e a da Evolução a fé católica.

Se estou supreso por isso? Não. Deus já havia me revelado, como a muitos outros, o que acontecerá com a ICAR, sua tendência, a questão do Criacionismo e da pseudo-ciência. Além, de ser um fato de que padres católicos, cientistas, terem sido os que desenvolveram em grande parte a teoria do Big Bang. Percebe-se também essa idéia da ICAR buscando tornar-se um lider mundial, não somente pelo ecumenismo, mas procurando até mesmo alcançar os cientistas céticos e ateus, de modo que suas teorias se adaptam com a ICAR.

Tenho muitas idéias particulares quanto a Teoria do Big Bang e expeculações. Mas não coloco a mão em nenhuma delas, muito menos nessa defendida pelo documentário. Creio que com o tempo, as coisas vão se esclarecendo aos poucos, conforme mais perguntas surgirão.

Também, como a questão do Criacionismo será a grande questão chave no futuro. Incluso na questão do Decreto Dominical, no qual, ou as pessoas irão guardar o domingo ou o sábado. Temos, na verdade, a questão: Ou adorar a ICAR com a Sua Teoria Anti-Criação ou adorar o Deus Criador da Bíblia.

Nesse documentário, pude perceber uma coisa que não havia percebido muito antes. Alguns, sabe lá raios por quê, atribuem a Teoria do Big Bang aos ateus, céticos... Quando, olhando bem o documentário, se percebe que a teoria deve ser atribuida aos padres católicos. Isso abriu uma nova porta de como ver a questão.

Recomendo o documentário a todos que não conhecem de A até B a Teoria do Big Bang e que se interessam pela questão. Ao mesmo tempo, que rogo para que despertem a razão e análise critica, de modo a poder havaliar bem todo o documentário e o conteúdo apresentado; e para correr menos o risco de acabar sendo dogmatizado, ou pior ainda, de adorar a Ciência.

Método do Castilho: Resolvendo Sistema Qualquer

Um professor brasileiro, Castilho, preocupou-se em buscar um método para resolver os mais diversos tipos de sistemas, de forma genérica, e o mais simples possível. E conseguiu desenvolver um.

Primeiro, apenas para ilustrar o método, vamos usar um sistema de 2 equações com 3 variáveis (x, y, z); por tanto, as demais letras são constantes.

I) ax + by + cz = d
II) ex + fy + gz = h

O primeiro passo, é buscar sumir com uma variável, no caso x. Isso faremos uma espécie de mínimo divisor comum entre as duas equações. E apenas, para fins didáticos, considerarei (-ex) e (+ ax), mas não há problema algum em inverter os sinais.

I) ax + by + cz = d .(-ex)
II) ex + fy + gz = h .(+ax)

I) -aex² - bexy - cexz = - dex
II) aex² + afxy + agxz = ahx

Agora, somamos os dois sistemas, satisfazendo a igualdade aex².

(aex² - aex²) + (afxy – bexy) + (agxz – cexz) = (ahx – dex)

Resolvendo:

0 + afxy – bexy + agxz – cexz = ahx – dex

Perceba que a variável x é comum a todos os fatores. Então, denominaremos x um denominador comum a todos, de modo a poder simplificar o sistema, extinguindo a variável x.

x(afy – bey + agz – cez) = x(ah – de)

então

afy – bey + agz – cez = ah – de

Agora, podem colocar as variáveis em evidência.

(af – be)y + (ag – ce)z = (ah – de)

Aqui, foi um dos momentos mais surpreendentes. Castilho, percebeu que as constantes entre parênteses é o determinante de uma matriz 2x2.

Percenbendo-se, que deste modo se obtem uma nova equação:

my + nz = q

Sendo que as constantes, m, n e q são os determinantes de uma matriz 2x2 das constantes originais.

Analisando bem o método. É meio intuitivo perceber, que ele pode ser repetido. Caso o sistema tivesse 3 equações, ter-se-ia duas equações de duas variáveis (y, z), de modo que repetindo o caso, ter-se-ia apenas uma equação com a variável z; o que facilmente se encontra o valor de z, e depois por substituição encontra-se as demais variáveis. E não importa quantas sejam as variáveis ou o tamanho do sistema, você sempre estará reduzindo as variáveis e apenas terá que trabalhar com o determinante de uma matriz 2x2 que é super simples. Sinceramente, creio que esse método é mil vezes melhor do que o famoso método de Crammer.

Vejamos agora um exemplo, para entender como funciona o método, desenvolvido por Castilho, na prática:

Sistema:
I) x + y + z = 9
II) x + 2y + z = 11
III) 2x – y – z = 0

(é um sistema que dá até para resolver de cabeça, mas apenas busca ilustrar o método).

Castilho transformou o método numa tabela, no qual se joga os dadas do sistema e do método:

Cada linha corresponde as equações (I, II e III). As colunas x, y, z, correspondes aos algarismo contidos nelas. TI refere-se ao valor da constante da igualdade de variável n0. E CC corresponde a soma dos valores da linha. Contudo, um grande mistério fica-se em torno de CC, pois não sei sua utilidade.
Agora, é só formar uma nova tabela, usando-se dos determinantes da matriz 2x2.

Portanto, tem-se:

-3z = - 12
Então, z = 4

Na primeira equação de 2 variáveis, já temos que: y = 2.

Numa equação de 3 variáveis, temos então:

x + y + z = 9
x + 2 + 4 = 9
x = 9 – 6
x = 3

Portanto: S = (3, 2, 4)

....

Esse método é super interessante pois nos faz lembrar um pouco do Brio Ruffini para resolver polinômios. É simples por apenas tratar de determinantes matrizes 2x2. A organização em colunas facilita a visualização e organização dos processos. E é simples e rápido, poucas passagens e contas; se for comparar com outros métodos para o mesmo.

Pensando algoritmicamente, é muito útil para engenheiros que tem que trabalhar muitas vezes com um sistema enorme, de muitas equações e varias variáveis. De modo que podem escrever um algoritmo num programa em C, Java etc. Que faça tais contas, de modo que até mesmo facilitará para o programa fazer a conta mais rápido; o que em grandes escalas pode fazer a diferença.

Contudo, é importante notar que o exemplo, trata-se de um sistema possível e determinado (SPD), no caso de indeterminado (SPI), ter-se-á valores zeros muitos determinantes. E caso for SI, impossível, certamente haverá alguns absurdos nos números. E pelo que pude verificar, tal método é apenas confiável para sistemas lineares.

E o enigma continua: Qual a finalidade de CC?

Aplicações de Integral: Volume - Método das Fatias

Há muitos objetos nos quais não são possíveis calcular seu volume exato, ou mesmo área, usando de métodos simples, como “Base x Altura”; porque há “curvas”, “deformações”, inclinações, entre outros, de modo, que o mais próximo seria aproximar de modo “ad infinitum” do seu volume exato.Com a evolução da matemática, especialmente com Isaac Newton, o qual consolidou melhor o Cálculo Diferencial e Integral, hoje, podemos encontrar precisamente a área e volumes de tais objetos, usando-se da Função Integrante.

O Cilindro Reto

Temos uma circunferência simples, assumindo o papel de “base” do objeto. Olhando por um ponto de vista perpendicular/ortogonal ao plano no qual pertence essa circunferência, temos essa visão.

Para calcular a área dessa figura, no caso um circulo, usamos A = π.r²

Fazer uma “extrusão” de tal base até uma altura H, teremos então um cilindro. Seria como pegar uma carta de baralho (base), e então colocar várias uma em cima da outra, de forma a manter a mesma forma, até uma altura H.

Para calcular o volume desse objeto, um cilindro, basta multiplicarmos a área da base pela altura: V = Abase x H

O mesmo para um livro, pegue a área da base, ou seja, de uma folha, e multiplique pela altura formada, no caso a espessura do livro – o número de páginas vezes a espessura da folha.

O mesmo ocorre no caso abaixo, sendo a base um quadrado.

Então, não importa qual seja o formato da base, o volume, será sempre a área da base vezes a altura do sólido. Há os outros objetos, como esferas, cônicas entre outras que o mesmo não vale; estamos tratando do caso cilíndrico – Princípio da Extrusão. Nos demais casos, a formato da base varia conforme a altura, ou seja, a área não é fixa mas é uma função variável. Veremos a seguir, que mesmo para tais, podemos calcular o volume do mesmo modo, Abase x Altura, só que a Abase = f(x), e a altura.

Sólido de Revolução

Para uma f(x), em R.

Podemos fazer um sólido de revolução, que seria girar tal imagem, em torno de um eixo qualquer. No caso, giraremos em torno do eixo x:

Pode-se reparar, que qualquer plano perpendicular ao eixo x, a sua intersecção com o gráfico (a figura, sólido) formado, será algo circular. Pois, na revolução, o que se faz é pegar um ponto f(x) e girar (360º ou 2 ) em torno de um centro, no caso, x. Com isso, se tem uma circunferência.

Como se pode ver. Analisando a intersecção do plano possuí um formato de um círculo. Mas num caso genérico. Supondo que não sabemos que o formato é um círculo, simplesmente podemos dizer, que a figura formada tem uma área, A(x).
Para saber o volume de tal sólido. Basta somarmos todas as áreas da base – os círculos – pela altura – de a até b, ou seja: H = b – a .

Como vimos anteriormente, para calcular o volume, temos que pegar área da base, A(x), e multiplicar pela altura. Agora, a situação é que a base é uma função f(x). Então, “A(xi ). ”é o mesmo que a “A(x).H” (área da base x altura). E nisso teremos o volume de cada um desses minúsculos segmentos. Então, o volume total, seria a soma de todos os volumes desses segmentos:

Isso é “A Soma de Riman.”
Para incluir os segmentos, de modo “ad infinitum”, pois há infinitos "xi" dentro de Δx. Para isso, fazemos o limite da soma de Himan, quando o tamanho da partição (ρ) tender a zero. O que resulta na Integral.

>>> Esse é denominado como “Método das Fatias”, para encontrar volume.

Nos casos de Revolução, a área das fatias, será a área de um circulo. No qual o raio é a imagem, f(x), em x. O que você pode facilmente verificar. Com isso, A(x) = π.f(x)². Então, o volume de sólidos de revolução, pode-se escrever como:Exemplo:

A função: f(x) = √x , no intervalo [0, b]



Fazendo a revolução desse gráfico, em torno do eixo x, obtemos:



(fatiando...)

No qual o raio é a própria imagem de x, ou seja, f(x)= √x. Então, a área dessa circunferência é de π.(√x)² = π.x

Então, o volume do sólido, no intervalo [0, b], supondo que b = 1, é:

Agora, caso queira calcular a área dessa superfície. Ao invés de procurar saber a área dos círculos formados pelas fatias, calcule a borda, ou o comprimento da circunferência e integre.
C(r) = 2πr = 2π.√x = C(x)
Então:

Carbono 14: Matematicamente falando

Em Cálculo 2, ao estudar as Equações Diferenciais Ordinárias (EDO's), o professor mostrou alguns exemplos de aplicação de tal, entre eles estava um interesse: "o famoso Carbono 14". Tentarei explicar como é, e no final, as observações (que são as mais importantes).

.............

Bem, a grosso modo é uma função (a massa em função do tempo). Ou seja, num certo tempo temos uma certa massa, e num outro tempo, uma outra massa.

Então, fazendo uma análise, da questão da meia-vida, ou seja: Quando se teria metade da massa? Percebe-se que aquilo que você está observando está perdendo massa conforme o tempo. Ou seja, é uma velocidade. Não de "metros por segundo (m/s)" ou "quilometros por hora(km/h)", mas "massa por tempo", podendo ser quilogramas por hora (kg/h).

Ok?

Bem, se é uma velocidade, então é uma derivada. (ai entra alguns conhecimentos essenciais de cálculo). E se temos uma proporção constante (a da meia-vida). Então, podemos descrever uma constante (k), do seguinte modo:

0 > k= m'/m
[m' --> é m derivado uma vez ]

e que: m'(t) <>m(t) = mo.e^(tk)

LEGENDA ....................................................................

m(t) --> a massa em função do tempo
mo --> massa inicial
e --> exponencial (um valor tipo o "pi", que aparece em tudo qualquer lugar na matemática)
^ --> como não tem o recurso de sobrescrito no blogger, uso esse sinal para indicar que o que vem a seguir é um expoente ou potência.
T --> tempo de meia-vida (ou seja quando a massa cai pela metade).
.............................................................................

Com isso, dá para formular mais equações, como o tempo de meia-vida:
m(t + T) = m(t)/2

e como:
m(t) = mo.e^(kt) [isto vem das EDO's]
para meia-vida, então, temos:
.
m(t + T) = mo.e^(k(t+T))
.

agora, é só trabalhar um pouco na equação:

=> (então) m(t + T) =

= mo.e^(k(t+T))

= mo.e^(kt).e^(kT)

= m(t).e^(kT) = m(t)/2

=> e^(kT) = 1/2

=> kT = ln(1/2)

=> kT = ln(2)^(-1)

=> kT = -ln2

=> k = -ln2/T

Bem, ln é o famoso "logaritimo natural". Que é a mesma coisa do famoso LOG, quando a sua base é o e. Ou seja, ln de 2 (ln2) é o mesmo que dizer log de 2 na base e. Porem, de certa forma, o log não é muito usado no calculo (praticamente nada), mas usa-se muito o ln pois tal possui diversas propriedades usais em quase tudo - como o e, aliás, onde tem um e certamente terá um ln (em muitos casos).

Ok, já que encontramos o valor de k. Agora vamos substituir na equação m(t)=mo.e^(kt)

então, temos: m(t) = mo.e^(t.-ln2/T)

Agora, basta trabalhar um pouco a fórmula:

m(t) = mo.(e^ln2)^(-t/T)

[Bem, e^ln2 é um número conhecido, é o famoso 2. Pois, devido as propriedades que não vou provar aqui, temos que, qualquer número "a", pode ser escrito do seguinte modo:

a = e^lna]

m(t) = mo.2^(-t/T)

m(t) = mo/2^(t/T)

Bem, e com isso, terminamos. Encontramos a bendita fórmula que descreve a meia-vida.

...........

Ok. E como isso é relacionado com o carbono 14?

Bem, consideram o Carbono 14 como um dos isótopos mais instáveis e que possui maior meia-vida, dizem que a sua meia-vida é de 5.730 anos.

Como é que eles chegaram a este número?

Certamente ninguém ficou observando uma amostra de carbono 14 numa balança por quase 6 mil anos para perceber que a sua massa caia pela metade ao se passar 5.730 anos. O que fizeram foi o seguinte: pegaram uma minuscula amostra, (pequena mesma), e não uma pedra de 10kg. E então, esperaram ela perder um pouco de massa. E perceberam que após alguns dias, ou semanas, meses, anos (não sei quanto tempo usaram), perceberam que a sua massa caiu um pouco. Então, fizeram uma "regra de três" [é mais uma figura de linguagem, atente as aspas], e chegaram nisso, que então, o carbono 14 deveria perder metade de sua massa após 5.730 anos.

Bem, e a partir dessa teoria [é teoria mesmo], passaram a usar o carbono 14 para analisar o tempo de vida das coisas, de fósseis etc. E com isso, chegaram em números com muitos zeros e casas. E foi um dos métodos pioneiros da datação cientifica.

......................

Mas, todavia, porém, portando...

É uma loucura usar este método para a meia-vida, porque é impossível. Como meu professor disse: "É algo muito idealizado. [num sentido de utopia mesmo]"

Por que?

Pois, à rigorosa matemáticamente falando, é certo, como mostramos, a fórmula está correta, vale. Porém, para usá-la na prática, como realmente querem usar, não vale. Talvez funcione para coisas muito próximas. Por exemplo, ver a idade de algumas coisas que em alguns anos perdem metade da massa etc. Mas quanto mais tempo passa, mais torna-se um absurdo. Porque é preciso de um sistema rigoroso, controlado e praticamente constante, sem interferências, e condições perfeitas.

Para ter idéia, este mesmo método da EDO é usado para se conseguir muita coisa, como a análise de taxa de crescimento populacional de uma certa espécie. Porém, na vida prática teria que ser algo assim:

"Bem, amigos, hoje vamos analisar a taxa de crescimento das formigas-vermelhas.

mas, para isso, temos que levar em conta alguns fatores:

- ninguém tem problema de fome e de saúde;

- não há predadores, como um tamanduá que pode dizimar um formigueiro em poucas horas;

- elas nunca brigariam entre si, nem com outros formigueiros;

- elas nunca perderiam o caminho de casa;

- elas não sofrem acidentes, como chuva que as afogam, ou animais que as pisoteiem, entre outros;

- enfim, todas as condições, tem que favorecer perfeitamente a elas, para que nada saia do equilibrio.

Então, com isso, podemos usar aquela fórmula que os matemáticos fizeram."

E é assim que tem que ser para poder usar. Um outro exemplo, é para os famosos "juros compostos", com tal, consegue a rigor saber quanto será o dinheiro depois de tantos meses etc. Porém, para isso, é preciso de um controle tão rigoroso que se percebe que os bancos cobram taxas pesadas, e custa "no bolso do povo" manter essa "equação" em perfeito harmonia na vida prática.

Quanto a meia-vida é a mesma coisa, as condições tem que ser perfeitas, constantes e nada que possa influenciar, muito menos algo que possa acelerar o processo. E por isso o professor disse: "é algo muito idealizador." [num sentido que quis dizer, isso é bem utópico, fico induzido a dizer: impossível]

Bem, o método do carbono 14, muitos cientistas não dão muito crédito. Existem outros métodos que usam por ai. Porém, em todas, de certa forma tem que se adimitir alguns paradigmas, especialmente do naturalismo fisolófico, mas algo que se deve admitir para se estudar o passado é: "As condições do passado desconhecido ,precisam, necessitam ser tal, que não interfiram nessas equações, e de tal modo, que tais métodos funcionariam tão bem como nos dias de hoje." Porém, ninguém hoje já viveu em tal passado [humanamente falando], nem muito menos temos registros escritos, provas (provas livre de interpretação, do tipo: Uma pedra escrito o 'ano'; algo que indique uma data livre de qualquer paradigma ) etc. que nos dê informações sobre tal passado (digo de milhares, milhões de anos). E o pior de tudo, não podemos viver em tal passado e analisá-lo num laboratório, observando e levantando dados dessa observação. Por fim, é uma questão de fé - "o passado foi assim, vamos estudá-lo a partir dessas convicções".

"Se uma datação radiocarbônica apoia nossas teorias, nós a colocamos no texto; se ela não contradiz frontalmente, colocâ-mo-la no rodapé e, se for discrepante, simplesmente não a mencionamos." - Säve Söderbergh, arqueólogo

Nota: Entre acreditar em Deus ou nesses cientistas, eu fico com Deus. Entre ter fé na Bíblia que é cheia de incríveis verdades e respostas para diversas coisas da vida, a qual já mudou, transformou a vida de muitos homens pelos quais não se daria um único centavo, ou ter fé que essas fórmulas funcionariam perfeitamente para toda a eternidade passada, eu fico em ter fé na Bíblia. Creio no relato da criação apresentada por homens inspirados por Deus na Bíblia. E de acordo com ela, muitas destas datações dadas pelos cientistas estão equivocadas. E mais, a Bíblia aponta que o passado AS CONDIÇÕES eram bruscamente diferentes das de hoje.

NASA: Descoberta põe em cheque teoria sobre matéria

Os telescópios de raio-x do observatório espacial Chandra descobriram uma zona livre de galáxias que coloca em dúvida a teoria atual sobre a matéria escura, informou nesta quinta-feira o Centro Marshal de Vôos Espaciais da Nasa.

Na astronomia, a matéria escura é uma forma de matéria que interage com outros corpos celestes gravitacionalmente. Invisível, sua presença é apenas deduzida a partir dos efeitos gravitacionais sobre a matéria visível, como estrelas e galáxias. A matéria escura correspondente a aproximadamente 90% de toda a matéria do universo.

A teoria diz que a misteriosa matéria escura e as galáxias devem estar sempre juntas, inclusive no caso das explosões cósmicas das estrelas. No caso desta descoberta da Nasa, a matéria escura foi detectada em uma zona do universo onde não há galáxias.

Fonte: Terra

O que é importante observer sobre essa questão?
O mais importante, certamente é a questão quanto a quebra de paradigmas que ocorre naturalmente na ciência com o decorrer do tempo. Exemplos é que não faltam, como o geocentrismo dos gregos; até mesmo Einstein não escapa ao afirmar que a velocidade da luz é constante.
Há muitas coisas na ciência que vão mudando, adaptanto ou desenvolvendo conforme surgem as descobertas. Algumas, são reformuladoras. Como foi a teoria do Einstein, onde toda a física teve que passar por uma reforma, de tal modo que agora há a chamada Física Moderna.
Portanto, quando se vê, principalmente nos canais da mídia, pessoas falando que alguma teoria física é uma verdade absoluta, ou mesmo colocando-a como se fosse. Bem, lembre-se dos exemplos; evitará constrangimentos, equivocos e choques futuros.

"Os homens sempre precisam estar pesquisando, sempre aprendendo; contudo, há um infinito além" (Ellen White, Mensagens Escolhidas, v. 3, p. 306).

Algoritmo da Raíz Quadrada

Veja na animação abaixo, 4 modos diferentes, e alguns, incriveis, de se encontrar a raíz quadrada, sem ter que usar calculadora.

...

Se desaja baixar para seu computador, clique aqui. (necessário WinRAR)

Curiosidades Sobro os Números

Lá estava eu procurando uns livros na Biblioteca "Carlos Benjamin de Lyra" sobre história da matemática e algumas biografias, que todavia, não encontrei. Mas peguei uns 4 livros da sessão de História da Matemática.

Primeiramente, comecei a ler o The Mystery of Numbers (de Annemarie Schimmel, 1993, publicado pela "Oxford University Press"), e então comecei a ter a idéia de estudar mais a história, filosofia, origens... etc. dos números, assim, os números como algarismos. E isso comecei a observar também nos outros livros, e por fim, fiquei bem empolgado no assunto. Mas como são MILHARES de páginas em todos os livros, me apeguei mais ao estudo do The Mystery of Numbers, e apenas recorria aos demais para aprofundar mais e ver a opinião de outros livros, aliás, em alguns momentos o The History of Mathematics: An Introduction (de Victor Katz, da University of the District of Columbia, publicado pela Addison Wesley Longmann) e o A História da Matemática (de Carl B. Boyler, professor do Brooklyn College, publicado pela Edgard Blücher).

E o mais interessante, foi o que encontrei no livro The History of Mathematics, no qual faz um anagrama sobre o desenvolvimendo dos simbologos que hoje conhecemos como 1, 2, 3, 4...0. Tudo tem por origem na India, com o "Brahmi numerals", então tal desenvolveu-se um pouco para o "Indian (Gralior)", o qual alguns número já possuem alguns traços com os que conhecemos. E deste, passou para duas frentes: 1. West Arabic (gubar) 2. East Arabic (que ainda é usado na Turquia). Bem, daí, os europeus incorporaram esses números arabes, e então, fora-se transformando até que no "15th Century" passará a possuir traços muitos próximos dos atuais, e então desse, passou para o "16th Century (Dürer)" que enfim, são os números como hoje são.

Mas como o próprio livro é bem denso, contém 314 páginas, eu pensei em ler algumas coisas nas férias, mas como nas férias, a Biblioteca vai fazer a contagem, pediram que entregasse antes e que vai ficar fechada durante; bem, então optei por apenas ler alguns capitulos que me chamaram a atenção. Os primeiros 6 capitulos é uma introdução geral ao livro, os estudos feitos, até mesmo explicando algumas coisas quanto aos números, algumas informações históricas interessantes e até mesmo sobre algumas superstições (que aliás, é o nome do sexto capitulo). Bem, após, eu li um pouco sobre o número 2 (um capitulo), ai me empolguei e fui ler sobre os números 6 e 7 (creio que depois lerei o do 1). Bem, e são esses os capitulos que me chamaram a atenção, com os quais colocarei muitas informações, curiosidades nesse post:

"Six The Perfect Number of the Created World" (p. 122-126)
"Seven The Pillars of Wisdom" (p. 127-155)

6 - O Perfeito Número da Criação do Mundo
O número é considerado perfeito, devido algunas propriedades matemáticas, entre algumas outras, são:

• A soma: 1 + 2 + 3 = 6
• O produto: 1x2x3 = 6
• O produto, ou mesclagem, entre o homem (representado pelo número 2) e a mulher (representado pelo 3) [é preciso estudar sobre os números 2 e 3 para saber o motivo de tal representação] tem por resultado: 2x3 = 6
• O número 6 é a base das figuras geométricas, visto que como tal é resultado tanto de 1x2x3 como 1+2+3. Veja que incrivel comparação ocorre quanto a geometria: 1 representa o ponto 2 (ou 2 pontos) representa uma reta 3 (...) representa um triangulo que forma um plano.

E o que me surpreendeu foi que no meio do capitulo começou a falar da Bíblia, dizendo que o número 6 representa A CRIAÇÃO. E também tráz uma expeculação
"six is not perfect because God has created the world in 6 days; rather, God has perfect the world in 6 days because the number was perfect." (p. 122)

E também consta com uma fascinante observação de Augustine (acho que é o santo Augostinho):
"Augustine argues is a similar vein and is even able to divide these 6 days into 3 parts: on the first day [1 dia] God created light; on the second and third day [2 dias], heaven and earth, the fabrica mundi; and in the 3 last days he made the individual creatures, from fish to man and woman." (p. 122 e 123) [pense na questão 1x2x3 = 1+2+3 = 6]

O livro fala também um pouco sobre o sábado. Mas nada de especial. Contudo, algo realmente também incrível, foi quanto a observação dos serafins na página 123:
"The fact that the seraphin of Isaiah's vision (Is. 6:2) had 6 wings points to their perfection."

Também achei interessante suas observações quanto ao pôr-do-sol biblico, simbolizando pela sexta hora da tarde de sexta-feira. Já na página 24, até faz uma análise de Mateus 25:34-36 que eu nunca tinha reparado. No v.34, fala sobre a fundação do mundo (a criação, os 6 dias), e logo em seguida, Jesus, faz uma interessão de idéias com 6 atividades, para saciar as necessidades básicas da vida (confira):
de Hrabanus Maurus:

1. fome: a alimentação, o pão de cada dia
2. sede: a água
3. forasteiro: uma pessoa sem teto, sem ter um lugar apropriado para dormir, ou mesmo viver
4. nu: a vestimenta do corpo
5. enfermo: a questão da saúde
6. preso: estar num local afastado dos entes queridos, solidão e coisas do tipo

Como pode ver, o total é 6. E aí fica aquelas perfungas: Coincidência? Bem, após pensei um pouco mais, e percebi que se você for encarar o número 6 como perfeito e mesmo simbolizando a criação, o que fica implicito O Criador que é o Mantenedor, aquele que cuida do Seu povo e os próprios ensinos de Jesus, talvez até aprofunde mais os versos, trazendo a idéia de que ISSO É PERFEITO, a caridade, e que isso está envolvido com a adoração do Criador, e envolve a criação. E mais, Tiago diz, que é a perfeita religião (Tia. 1:27).

O livro faz a seguinte conclusão quanto a isso: "In Matthew (25:34-36), the 6 is seen as a symbol of the vida activa, the life of good works."
Bem, com essa idéia, pense na questão do quarto mandamento de Deus: 6 dias trabalharás? Visto, que 6 simboliza "a vida ativa", "as atividades do dia-dia". Interessante, não?

Fala também sobre o livro de Apocalipse, o cap. 10 em especial, sobre os 7 anjos, em que 6 anunciam o longo julgamento, mas que o sétimo anuncia que esse divino ministério fora concluído, finalizou. (aliás, por pouco que não faz um estudo sobre o Juizo Investigativo.)

Bem, nessa altura é esfocalizado um pouco a Biblia, e começa a envolver o 6, com o Zoroastrianism da Pérsia. Faz também uma mensuração ao hexagrama, a "Hermetic tradition". A criação indiana do Vishnu triangle e também sobre o destrutivo Shiva triangle. Após, volta-se novamente para a Bíblia, analisando, um pouco, a "estrala de Davi". E apenas notifica quanto ao portal da Catedral de Freiburg, Alemanha.

E, por fim, faz uma observação fascinante quanto ao hexagono na Química Orgânica, como a estrutura molecular do anel benzeno (benzine ring), C6H6. (falta recursos de edição de texto no blogger)


7 - Os Pilares da Sabedoria

Diferentemente do número 6, esse capítulo é muito longo, possuí muita coisa mesmo, há influência em diversas culturas. E que portanto, apenas destacarei quanto aquilo que mais me interessou.

Bem, de inicio ele tráz várias propostas quanto algumas coisas atribuidas à importância desse número, como: Há 7 mares; a moderna versão do "Sienbenmeilensiefel (the 7-league boot)", a marca da bebida 7-Up. E tráz uma informação interessante no segundo parágrafo da pág. 127:
"The number 7 has fascinated humankind since time immemorial. Thus, in a study called Seven, the Number of Creation, Desmond Varles has tried, as did manu others before him, to reduce everything in the sublunar world to the number 7. Indeed, it consists of a ternary of creative principles (active intellect, passive subconscious, and the ordering power of cooperation) together with a quaternity of matter encompassing the 4 elements and the corresponding sensual powers (air = intelligence, fire = will, water = emotion, earth = morals). Such a division of the 7 into these two constituent principles, the 3 spiritual and the material 4 [alguns dizem que o 7 representa os 4 elementos e a Trindade = Deus = Pai, Filho e Espirito Santo], was used time and in medieval hermeneutics and is also at the basis os the division of the 7 liberal arts into the trivium and the quadrivium." (negrito acrescentado)

Continuando, faz umas comparações quanto: Há 7 notas musicais (ver p. 128). Também quanto algumas considerações de: Shakespeare, Solon, Greek, Philo de Alexandria, Sir Thomas Browne. Sendo que, quanto a Thomas B., destaco que ele relaciona o 7 com a expectativa de vida das pessoas, como: o que é considerado baixo, a média, e o que seria uma vida longa - e que tudo, tem por - assim posso dizer matemáticamente - limit, multiplos de 7.

Então fala sobre os arabes, depois da China. E na China é interessante, que para tais, o 7 simboliza (ou simbolizava - não sou tão fluente para ler em inglês) as fases da vida das mulheres. E mostrá lá. E o mais incrível é que tem lógica. E que são coisas dificil de se dizer: "Bem, essas 20 coisas serem fatos e envolverem o 7 é pura coincidência." Aí, também fala sobre o Pseudo-Hippocrates, que para tal, o 7 influencia sublimarmente os valores (tipo, humanos, sociais, filosóficos, morais...). E também relaciona-o com a astronomia. E entre diversas outras relações que variam desde a Babilônia até os Maias, entre muitas outras coisas, que aliás, o capitulo fala muito sobre vários povos que relacionavam o 7 com a astronomia, principalmente, porque até então, eles sabiam da existência de 7 planetas. E no geral, há uma relação do 7 quanto a filosofia humana, de como tornar-se uma pessoa perfeita, mente 100% equilibrada, estado de espirito etc. Até fala uns negócios sobre o Taoismo (uma filosofia atéica chinesa) e o budismo, mas não li direito.

Até que, finalmente, na página 132, ele começa a falar sobre a relação do 7 com a Bíblia. E nossa, fala várias coisas. O próprio livro faz uma observação quanto a Biblia:
"The Old Testament is replete with heptads."
E então, mostra algumas referências etc. Até que fala de Salomão. - Bem, nessa altura, confeço, que quando estava escolhendo os livros lá na prateleira da Biblioteca, buscando conhecer mais sobre os grandes feitos da Matemática, a última coisa que eu imaginaria, é que num determinado momento, um dos livros estaria-me fazendo ler o livro de Provérbios, ou que então falaria de Salomão. E diz o seguinte, apesar de eu estar com certos problemas para entender a última frase, devido ao meu limitado inglês:
"As 7 contains everything, the Proverbs praise the 7 Pillars of Wisdom (9:1) [que inclusive a caracteristica principal atribuida ao 7, e que é o titulo do capítulo], and when Zechariah speaks of the 7 eyes of the Lord, he uses image to evoke God's omnipresence and omniscience (4:10. The idea of 7 divine eyes reoccurs in later Sufism in connection with the 7 great saints who, as it were, are the eyes through which God looks at the world." (ênfase acrescentada)

Nota: Wisdom quer dizer, sabedoria, prudência, discernimento, bem-senso e coisas do tipo. Enfim, basta ler Prov. 9:1 que você encontra lá o que quer dizer.

Depois de um paragrafo, o texto aborda sobre o "sábado", umas coisas incríveis, como abaixo:
"The seventh of these lower sefirot (the tenth one altogether) is the Shekhinah, which is called the Sabbath Queen and whitch, the Zohar explains, corresponds to the seventh primordial day." (negrito acrescentado) [atente para a oração final]

Isso não faz pensar quanto a importância do sábado? Qual a sua relação para com o 6 que representa a perfeição e a Criação - numéricamente falando? Creio que o sétimo dia confirma, assina, CARIMBA a apólice da perfeição, da Criação. Para aqueles que são sabatistas ou que meramente conhecem a doutrina sabatista, percebe-se que dá para incluir um significado ainda mais profundo quanto ao mandamento de Deus de guardar o sábado (o dia 7).

Bem, depois você pode ver nas páginas 134 e 136, umas ilustrações quanto ao candelabro e algumas informações. Na pag. 135 faz uma análise bem interessante quanto a ressurreição de Jesus, na qual foi no oitavo dia (após o dia 7), e fica nas entre-linhas que isso significa que o próprio Jesus observou a importância do dia 7. (Confeço que nessa hora até me passou na cabeça se o autor tem algum vinculo com os Adventistas.) Depois fala sobre a relação do 7 para com o islamismo. E nas páginas 137-139, é feito uma expeculação medieval de que o moderno cristianismo [bem, poderia considerar a "instituição" que a representa em nivel mundial (Católica)] não se baseia na Biblia, mas possui um envolvimento pagão com as idéias de deuses gregos, especialmente, Apollo e Atena; isso, através do número 7. E então depois começa a falar sobre isso, de que isso veio de Roma, pois tal pegou tais tributos dos gregos, e a Igreja incorporou. [Interessante, nem, mesmo os números deixam de acusar sobre a verdadeira imagem da Igreja Católica e o que a levou a ser o chifre pequeno de Daniel.]

Considerações Finais:

Algo esse conteuto me fez pensar: Os números, essa complexidade, como eles são envolvidos na Bíblia, e que só foram compreendidos mais rescentemente. Testemunham de que a Bíblia não fora escrita por qualquer um. E torna-se dificil dizer: "Esses milhares de fatos são pura coincidência." Enfim, os números também são mais um testemunho quanto a confiança das Escrituras Sagradas, e que é uma obra incrivel e que vale ser estudada; até mesmo, na História da Matemática.

Bem, termino por aqui. Afirmo, que de agora em diante, vou prestar muito mais atenção nos números. hehe E também, recomendo esse livro, pois ele é bem seguro, aliás, vem da Universidade de Oxford. Ele aborda profundamente os temas, busca várias fontes, não é um livro que se prende na religião; mas devido aos fatos, a realidade, não teve como deixar de lado. Uma coisa que gostei muito, é que ele diz: isso é fato, isso é uma suposição, isso é expeculação, isso é uma idéia misticismo ou ocultismo (não nessas palavras). Ele faz essa distinção do seu conteúdo. Não sei se há uma versão traduzida para o português, mas vale a pena ler. Na última página, tem uma marca do IME, que diz que custou R$ 36,71; portanto, é barato comparado a tantos.

Série de Taylor

Também conhecido por Polinômio de Taylor, trata-se de uma série infinita de um função, a qual o valor dessa função pode ser calculado algébricamente por uma soma infinitamente aproximada (ou exata, dependendo do valor e do tamanho da série).

Bem, a prova (ou demonstração) desse teorema, quem sabe eu coloque um outro dia, pois é bem complexo. Já, aqui partiremos para o teorema, na prática.

Bem, com essa função, (o qual é preciso ter uma idéia de derivadas), você pode usá-lo como um algoritmo para descobrir o valor de qualquer função, até daquelas mais complicadas. Ai vai alguns exemplos de funções, através do Polinômio de Taylor.

para x >0






para x <>

Bem, como funcionam essas equações. É simples, pense num valor de x, e substitua na fórmula, nos lugares onde dá x, e calcule o final da conta. O "..." refere-se, que você pode aumentar infinitamente essas frações, segrindo a progressão que se pode observar, segundo o polinomio de Taylor. E que quanto mais frações, mais próximo do exato valor estará, ou talvez, em algum momento já se consiga o valor exato. Aliás, esse polinômio é interessante para calcular o resultado de uma função que tende a uma dizima periódica infinita, ou mesmo um número irracional.

Também há um cáculo extra, no qual, você se tem uma "margem de erro", e pode-se saber até quando precisa para chegar numa determinada margem de erro. Mas ai complica um pouco mais, talvez eu coloque junto, quando colocar a demonstração do teorema e seus propriedades mais a rigor.

Eu dei uma olhada em alguns livros, e se não li equivocadamente, em Cálculo 4, serei apresentado ao Polinomio de Taylor para função de várias variáveis, o que também seria bem interessante.

Veja também: Teorema de Taylor - Demonstração

A Matemática da Mega Sena

Inconformado em saber que milhões de pessoas em todo o Brasil ficam gastando dinheiro jogando na Mega-Sena, com aquela esperança de "eu posso ganhar", ou "alguem tem quem ganhar, e por que não eu?" Bem, espero que esses dados matemáticos ajudem a compreender um pouco melhor as "Probabilidades" da coisa.

No site: http://www.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp

há alguns dados, porém, no minimo "estranhos", principalmente quanto as sua interpretação e condições. Então aqui colocarei algumas comparações para ter idéia sobre a grandeza dessa "chance", ou "tendência", ou, simplesmente, sua probabilidade de ser sorteado e ganhar o premio milionário, e uns métodos alternativos e certos de torna-se rico.

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Bem, para ganhar, você tem que acertar seis números, sendo que variam de 00 - 60. Num dos modos mais práticos da matemática de se saber, quantas são essas possibilidades, eis o meio:

Representemos as seis casas, onde estarão os seis numeros sorteados:

__ __ __ __ __ __

Bem, então agora associamos, a cada uma delas, a quantidade de numeros (ou bolas) possiveis para cada:

__ __ __ __ __ __

60 59 58 57 56 55

Então para cada uma delas, há a possibilidade das demais. Ou seja, temos que ajuntar tais. É aquele famoso: "Você tem que acertar a primeira e a segunda e a terceira e a quarta e a quinta e a sexta." Enfim, esse "e" representa uma multiplicação (sem entrar em mais detalhes do motivo).

Enfim, o números de eventos possíveis é o resultado dessa conta:

60x59x68x67x56x55

Que é igual a: 36.045.979.200 eventos possíveis.

Então, se você apenas optar por jogar 1 vez, em 6 números, a sua chance é de 1 em "36 bilhões 045 milhões 679 mil e 200"

Ou seja, na representação fracionária:

____1____

36045979200

na, decimal: (aprox.) 0,0000000000277423452544188

ou ainda, 0,00000000277423452544188 % aprox.

Isto está muito mais próximo, infinitesimalmente, de ZERO do que 1%.

Bem, sabe o que isso quer dizer? Qual é o tamanho, a grandeza dessa possibilidade, tendência? Bem, então vamos lá para algumas comparações astronomicas, para você perceber ter uma idéia de qual a chance de você ganhar.

PRIMEIRO EXEMPLO

Suponha que há um sorteio a cada mês e todo mês você joga. E isso, durante 500 anos (supondo que sobrevivesse tanto tempo).

Então o total de jogos: (meses)12x500(anos) = 6000 jogos

Então a sua probabilidade é de 6000 para 36.045.979.200

ou seja, fração:

___6000___

36045979200

Simplificando, isso é aproximadamente igual a:

____1_____ ou seja, de 1 em 6.007.663 (aprox.)

6.007.663,2

ou então, decimal: 0,000000166

ou, 0,0000166%

Enfim, é essa a sua chance de ganhar, mesmo que você jogasse todos os meses por 500 anos!!!

INVESTIMENTO

Agora, vamos supor que ao invés de você gastar esse dinheiro todo com a mega-sena, por quinhentos anos. E mesmo assim ter uma chance ridicula e insignificante de ficar milionário. Vamos, partir para um outro método de ficar rico e cheio da grana.

Suponha, que você gastasse R$ 1,00 para jogar cada vez (o que está abaixo do preço real). Ou seja, nesses 500 anos você gastaria R$ 6.000,00. Então, ao invés de gastá-los desse modo(no jogo), você aplicaria desde já 6 mil reais numa CDB por exemplo, em que o juros rende um pouco mais do que uma Poupança.

Enfim, através da equação de juros compostos. Chegamos em algumas coisas incriveis:

[Abaixo, uma relação de quantos anos e o valor que você teria no total, aproximado]

(lembrando que você investimento inicialmente: R$ 6.000,00)

10 anos: R$ 15.562,45

50 anos: R$ 704.345,11

100 anos: R$ 82.683.674,04

150 anos: R$ 9.706.307.014,66

200 anos: R$ 1.139.431.658.762,79

...

500 anos: R$ 2.981.905.180.387.460.000.000.000,00

Bem, eu nem sei ler isso! É uma quantia astronômica. Certamente, você seria a pessoa mais rica do mundo. Você poderia comprar simplesmente TUDO! Todo o planeta, estação espacial, satélites, todas as nações das Terra. Ou até mesmo, outros planetas. E ainda assim, creio que faltaria muito dinheiro para gastar. Creio que nem existe tanta grana no mundo.

E quanto mesmo você ganharia na Mega Sena? Uns 50 milhões (50.000.000,00) e olha lá.

Enfim, qual seria uma atitude mais inteligente para ganhar, ficar rico, n-nário, cheio da grana: Sena ou investimento?

SEGUNDO EXEMPLO

Vamos mudar um pouco o contexto. Agora é o famoso jogo de Truco.

São 40 cartas.

Primeiro caso:

A sua chance de pegar uma carta especifica, como um zap, ou copas, ou espada, em uma jogada: é de 3 em 40

3:40 = 0,075 = 7,5%

A probabilidade disso ocorrer é ainda 450.574 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

Segundo caso:

A sua chance de pegar o TRIO MAIOR (Zap, copas e espada) na mesma mão entre 11 rodadas (que é o máximo para 1 partida):

11x(1/40)³ = 0.000171875 = 0,0171875%

A probabilidade disso ocorrer é ainda 1.032 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

TERCEIRO EXEMPLO

Comparação com jogo de dados.

Se você pegar 6 dados e sacudi-los e jogá-los numa mesa. A probabilidade deles darem ao mesmo tempo, todos 6, é de:

1 em 6x6x6x6x6x6 = 46.656

ou seja, 0,00002143347051 = 0,002143347051%

A probabilidade disso ocorrer é ainda 128 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

QUARTO EXEMPLO

Se você entrar numa biblioteca que possui 100mil livros e simplesmente dizer para o bibliotecário que quer um livro espefico, mas sem dizer o nome. E ele então traz 10 livros. A chance do livro que você quer ser um deles é ainda 600 vezes maior do que ganhar na Mega Sena em 500 anos!

QUINTO EXEMPLO

Dois amigos, cegos, vão ao estádio do Morumbi. E um não sabe onde está o outro. E então em algum momento, um deles aponta um leiser para algum lugar das arquibancadas. A chance dele acertar de primeira no amigo é ainda 100 vezes maior do que ganhar na Mega Sena em 500 anos.

SEXTO EXEMPLO

Se você pegar uma lista (sem qualquer tipo de ordem) com os nomes de todas as pessoas da sua cidade, supondo que há 1 milhão de habitantes. E você fechar os olhos, e jogar uma pedrinha a qual cobre 5 nomes, e ao cair sobre a lista, um dos nomes que ela cobrir ser o seu nome, é ainda 30x maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

INVESTIMENTO Exemplo 2 (ficar rico ainda nessa vida)

Suponha que em 10 anos, se você fosse jogar 10 mil reais, com qualquer tipo de loteria, rifa, bingo, caça-niquel... e ao invés disso, pegasse esses 10mil e investisse em ações, de forma que rendesse, pelo menos 5% ao mês (o que é bem razoável). Em 10 anos você teria pelo menos R$ 3.489.119,86. Isso, sem contar os dividendos, participação de lucros entre outras coisas.

Bem, aí está uma forma CERTA de se ficar milionário, sem gastar o seu precioso dinheiro no que alguns tem a aldácio de chamar de "sorte" (o que eu chamaria de ser algo que tem muita probabilidade de não acontecer e acontecer) - uma burrice tremenda, diria eu. Isso fora, que você poderia usar o dinheiro que gasta com a cerveja, as drogas, cigarros, doces entre outras coisas inúteis, e investir ainda mais; e certamente, você esperaria muito menos que 10 anos e já seria um milionário.

Aliás, ao invés de ficar também gastando a toa esse dinheiro todo depois. Você poderia simplesmente viver, numa boa, apenas com o que ele continuasse rendendo através das ações, que seria mais de 100mil reais por mês. Ou então, pela renda dela numa poupança ou uma CBD, que seria algo em torno de 35 mil reais por mês. Tá bom para você? Bem, é o sonho de muita gente.

A diferença, é que para isso você teria que ter uma paciência de aguardar 10 anos, e ter uma visão futura para sacrificar o agora, ajuntando 10mil reias e investindo-o, ao invés de gastá-lo com outras coisas temporais. E normalmente, as pessoas que optam por jogar na Mega Sena, tem uma atitude temporal, querem agora etc. E ficam pensando: É mais fácil ganhar assim. - Como vimos, mais fácil coisa nenhuma. É algo em que a probabilidade de acontecer é menos do que 1, ou seja, NÃO É CERTO QUE ACONTEÇA. E aliás, a tendência de ocorrer, em muitas calculadoras é ZERO, ou seja, NENHUMA. Ao invés disso, investimento, uma boa aplicação é uma ATITUDE CERTA de que vai acontecer. Apenas você precisa revestir-se de uma visão futura e longanima.

"Melhor é o que se estima em pouco e faz o seu trabalho do que o vanglorioso que tem falta de pão. " Prov. 5:10

"Os bens que facilmente se ganham, esses diminuem, mas o que ajunta à força do trabalho terá aumento." Prov. 13:11

"O preguiçoso mete a mão no prato e não quer ter o trabalho de a levar à boca." Prov. 26:15