Teorema de Taylor - Demonstração

O leitor pediu então aqui estou colocando uma demonstração do Teorema de Taylor. Contudo, está extremamente formal, é preciso ler com bastante atenção e concentração cada passo e o que cada detalhe significa. Pois, devido a ser algo complexo, e a correria do dia-dia, não tive muito tempo para analisar e explicar de forma bem didática e simples, para um público não acostumado com a linguagem matemática. Talvez outro dia eu faça. Pois de fato, só de digitar todo esse texto em linguagem matemática já foi uma trabalheira. Mas espero que possam apreciar essa demonstração, dar sugestões, criticas. Ele é baseado na demonstração que o professor PhD Luis Fishman me dera em Cálculo 2, no IME-USP.

Demonstração

condições
f e g tem D e Im reais. Quando x --> f(x) sendo que x pertence aos reais.
p, j e n são constantes.
p є D --> vizinhança de p.
f e g têm contato de grau n em p. De modo que:



Agora, caindo, encontrando o Polinômio de Taylor temos:








Conforme quis demonstrar. - c.q.d.



Veja também: Série de Taylor

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Nota: Aqui apenas visei provar, demonstrar o Teorema de Taylor, de forma genérica. Há diversas outras propriedades conseqüentes, algumas, muito importantes e interessantes, como calcular o Erro, de modo a ter uma precisão calculada que lhe satisfaça as exigências, entre outros. Mas isso fica para uma outra ocasião.

Foto: Cristal de Gelo

Fonte: Inovação Tecnológica

Eis a imagem do que na matemática chama-se de "Fractal". Há divesos tipos. No próprio cristal de gelo podem haver vários tipos que variam. Trata-se de uma sequencia lógica e matemáticamente observada, na qual, apenas gravando o processo e mandando gerar essa sequencia, tal vai se expandindo conforme essa lógica. Um outro exemplo, é das colméias, que seguem razões para com o hexágono.

Recordo das aulas de MAC115 com o professor Júlio Stern no IME-USP. No qual usávamos um aplicativo - feito por ele, se não me engano - chamado de "iGeom". O qual permite se trabalhar gráficamente, geometria, e desenhos em 2D. Inclusive gravar um processo, uma lógica, uma função trigonométrica, como script, e assim, poder gerar diversos fractais. E se não me engano, chegamos a fazer uns 3 fractais no curso.

Exercício de Lógica - O Prisioneiro

Um exercício muito 10 mesmo e bem dificil, aparentemente, é aqueles do tipo "O Prisioneiro", no qual é preciso pensar na resposta, de modo a obtê-la por isolamento; pois diretamente, não há como. E a estrutura da linha de raciocinio para desenvolver a resolução, não deve ser do Inicio para o Fim, mas do Fim para o Inicio. Ou seja, pensando na resposta, para elaborar a pergunta e o meio.

O Prisioneiro

No antigo Egito, havia um prisioneiro numa cela com duas saídas, cada uma delas com um guarda. Cada saída dava para um corredor diferente em que um dava para o campo e, portanto, para a liberdade e o outro para um fosso de crocodilos. Só os guardas sabiam qual a saída certa, mas um deles dizia sempre a verdade e outro mentia sempre. O prisioneiro não sabia nem qual a saída certa nem qual o guarda verdadeiro. Qual a pergunta (e uma só pergunta) que o prisioneiro deveria fazer a um dos guardas ao acaso, para saber qual a porta certa?


Resolução

Por onde partir? Essa é a primeira dificuldade encontrada, pois o texto, parece não apresentar nenhuma informação tendenciosa, que indica, que elabora uma sequencia, um caminho.

Em primeiro lugar vamos dar alguns nomes lógicos:

Porta para liberdade: A
Porta para a morte: B
Guarda{verdade} : V
Guarda{Mentira} : M

Então, vamos usar o método pelo qual se deve usar, em geral, quando é um problema em que se deve descobrir "seu inicio"(no caso, a pergunta); vamos partir do FINAL:

"A resposta que queremos é A. Vamos descobrir A. Mas como?"

[é possível, também, querendo encontrar B; pois no final, tanto faz, para solucionar, qual é a porta. Mas se fosse para várias opções, tem que ser assim mesmo.]

Se não há nenhum indicativo, nenhum caminho apontado, nenhuma direção apontada pelos dados. Vamos usar o método do "Isolamento" (fica mais claro quando se possui mais do que 2 opções, mas no caso, apenas {A, B}). Ou seja, para descobrir A, vamos descobrir B, e assim, retirá-lo do caminho, desse modo, apenas sobrando A.

Então, para descobrir B, vamos descobri-lo. Como? Agora, vamos usar a ferramenta: "Os guardas". Sabemos que um guarda diz a verdade e outro a mentira. Então, queremos, que ambos apontem para B.

Logo:
V → B
M → B

O problema é o M, pois se dissermos para ele "Qual é a porta errada? Ou a certa?" Ele dirá o contrário. Então, precisamos colocar um processo a mais, de modo a reverter o processo. Ou seja, busque saber "a mentira", pois assim, você saberá, no caso do M, qual é A. Então, coloque um processo a mais, de modo a continuar que V, continue apontando para B, pois se quer descobrir B:

V → B
M → A = B

Opa! Aí as coisas começam a ficar mais claras. Tipo.. Isole B, e veja o que ocorre:
B = M → A

Subistitua no processo de V. Então temos:

I) V → M → A
II) M → A = B

Bem, a bem clara agora. Em I, temos uma estrutura do tipo:
A é retornado a V por meio de M.
ou
V, retorna A, por meio de M. (e, sei que isso é B).

Ok. Então a estrutura está pronta para o caso I, ou seja, quando se for perguntar para V, o guarda da verdade. Mas para B, ainda não está pronta. Pois pode ser tanto:

M → A = B
como
M → B = A

E aí, não tem como saber. Portanto, queremos o primeiro caso: M → A = B
Pois, como queremos isolar o B - visto que é isso que definimos - e já temos isso para I (na pergunta para V). O que se deve fazer, é FORÇAR um caso: "M → A".

Mas como?
Bem, vamos usar um fato não usado até agora.
Se V, sempre diz a verdade. Então:
V → A = A

Ou seja, V sempre vai retornar a verdade. Isso é bom, pois assim, podemos saber como adquirir A, de modo forçado, constante, sempre, absoluto. (veja a semelhança disso, para alguns passos anteriores).

Então podemos substituir A em II.
M → (V → A) = B

Então, por fim temos:

i) V → M → A = B
ii) M → V → A = B

Opa. Agora a coisa ficou já estruturada e bem clara. Agora, só é preciso trabalhar na pergunta.
Bem, temos a seguinte linha de lógica para os dois casos:
i) V, me retorne A por meio de M.
ii) M, me retorne A por meio de V.

Então há uma fórmula bem clara:
"P2, me retorne A por meio de P3"

Sendo:
- P2, a segunda pessoa (com quem você está falando).
- P3, a terceira pessoa (a referência, o meio o qual retornaria A).

Contextualizando o enunciado, P2 é o guarda com quem você irá falar, A, a porta da liberdade, e P3, o outro guarda. E como, P2 é aleatório, ao acaso, tudo bem; para ambos o caso a resposta está isolada, definida, prevista - "B".

"P2, me retorne A por meio de P3." Está numa forma de ordem. Vamos transformar isso em pergunta. E pensando um pouco, textando um e adaptando, ou talvez de primeira. Você irá desenvover uma pergunta semelhante a essa:

PERGUNTA:

"Guarda, qual a porta que o outro guarda me diria ser a que conduz a liberdade?"

E assim, se tem a pergunta (a solução do exercício). Mas antes de encerrar, vamos fazer um teste e analisar.

VERIFICAÇÃO

Caso 1: A pergunta é feita a V.

"V, qual M me diria ser A?"
Como, M mente. Então V responderia: "B".

Caso 2: A pergunta é feita a M.

"M, qual V me diria ser A?"
V fala a verdade, mas M vai mentir o que V disser. Ou seja, V, responderia "A". Então M responde: "B".

Conclusão: Por fim, seja qual for o guarda a quem é dirigido a pergunta. Eu sei qual é B. E se eu sei qual é B, eu sei qual é A. Ou seja, posso sair para a liberdade quando quiser.

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Nota: Veja como é incrivel a matemática. De inicio, a Probabilidade de escolher A, era de 1/2 (meio). Ou seja, 50% de chance de viver ou morrer. Mas deu uma chance para o cara, analisar bem a situação, possibilidades. E ele conseguiu reverter a situação para uma probabilidade igual a 1 (vai acertar e ponto final).

Acho, que futuramente, vou adaptar esse exercício para uma situação com mais variáveis, aumentando o número de portas, talvez guardas. Para ficar mais evidente o Método do Isolamento.

É um exercício muito bom mesmo, mas muito, para trabalhar lógico. Pois realmente, não foi do dia para noite - no meu caso - que consegui resolvê-lo. Demorou várias horas. E o maior desafio, e o mais legal, é meter a mão na massa, tentar e tentar, e por conta própria, sozinho, resolver esse enigma. Pois, se essa foi a primeira vez que se deparou com esse exercício, e leu toda resolução, lamento, pois não vai ter a sensação de resolvê-lo sozinho. Mas é ótimo para mostrar aos amigos, alunos, entre outros, vê-los quebrar a cabeça. Para alguns, mesmo você dando a resposta (a pergunta), eles ainda travam, pois demoram um tempo para perceber como ela lhe dá a porta procurado. Mas de fato, o problema mesmo, está em descobrir a pergunta. Te conselho a esquecer esse problema, deixar de falar e pensar nele por um bom tempo, alguns meses quem sabe, anota na sua agenda, e aí nesse dia, quando praticamente não lembrar muito bem qual era a pergunta, a solução e tals, tentar resolvê-lo.

Ah! E se for passar essa questão para alguem. Não lhe informe sobre esse blog, não dê a referência. Pois aliás, a origem mesmo desse exercício não conheço. Peguei de uma lista de um professor lá no IME-USP. Donde ele pegou? Não sei.

Números Primos Descobertos

Em 2008 dois números primos enormes foram descobertos com a ajuda de computadores. Ah sim, um número primo é indivisível no sentido que não tem nenhum número natural que o divida sem deixar resto exceto ele mesmo ou o um.

Os novos números primos descobertos neste ano têm a forma 2^p – 1, (dois elevado à potência p menos um) onde p é um número primo e são conhecidos por primos de Mersenne, em homenagem ao matemático que estudou estes números inicialmente. É bom ressaltar que nem todo número desta forma é primo e nem todo primo tem esta forma.
Bem, os números primos são

descobertos (confirmados) no dia 06 de Setembro e 23 de Agosto de 2008 respectivamente. Não tente escrever estes números em sua calculadora pois eles têm mais de dez milhões de dígitos! O primeiro acima tem 11,185,272 e o segundo 12,978,189 dígitos.
Aliás, a descoberta do primeiro número primo com mais de 10 milhões de dígitos vai receber o prometido prêmio de US$ 100000 (cem mil dólares) da Electronic Frontier Foundation. Read more at Mersenn Prime Search.

Aprenda a matemática dos números de Mersenne.


Fonte: Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira (Unicamp)

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Nota: Alguns leigos podem questionar a utilidade disso. Mas números primos são importantissimos. Devido a sua propriedade de apenas ser divisivel por ele mesmo e por 1; isso gera uma gama de possibilidades, assim como trabalhar com seus restos para com divisões por outros números. Através disso, uma das maiores utilidades é gerar CÓDIGOS, cadeias de criptografia, senha, chaves - como preferir. E a grande maioria dos principais sistemas de segurança informatizado usam tais. Há empresas, acadêmicos, pesquisadores, que literalmente VENDEM números primos; brutalmente grandes e dificeis de serem descobertos; para empresas de segurança. E bem, se o frano vai receber 100mil dólares por ter descoberto um numero primo tão grande assim... imagine quais devem ser os valores da venda desses números...

Outro fato importante, é que ainda, os matemáticos não conseguiram encontrar nenhuma lógica, fórmula, método, que gere um número primo. Por exemplo, para gerar um número ímpar, usamos: n(k) = 2k + 1 (k e N). Assim é fácil gerar qualquer número par. Mas e para um número primo? É um dos problemas do século, muitos desenvoveram teses em cima disso, há uma corrida enorme. E quem descobrir, poderá ficar muito milhonário. Pois sabento tais, será possível saber todos os números primos, assim, todas as chaves de segurança. Ou seja, poderá ocorrer o maior golpe, roubo financeiro e de informações da História, ou a maior revolução e mudança quanto a Indústria do Código de Segurança.

Regra da Cadeia - Demonstração

Provando Regra da Cadeia para uma função de duas variáveis, nos reais.

Teorema:

Se é diferenciável em t0 , tal que pertence:




E f é diferenciávem em


Então


é diferenciável em t0 e


(Regra da Cadeia)


Prova:










(ver definição de vetor gradiente)

Agora...






Definido essas expressões (formando uma função composta: h(t)-h(t0). Então por definição de derivada, quero mostrar que:





Então, dividindo a expressão h(t)-h(t0) por t – t0, temos:













Provado

Obs.: O mesmo método pode ser utilizado para provar, ou demonstrar, a Regra da Cadeia para uma função em Rn, ou seja, de modo, a poder conter 3 ou mais variáveis. Apenas precisará fazer algumas adaptações.

Provando o Ponto Médio ou Mediana - GA

Provando por meio de Geometria Analitica (GA) algo, aparentemente, bem óbvio: Ponto Médio, ou Mediana, em R³.

Teorema: Seja A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2), o ponto médio do segmento AB é dado por:




Prova / Demonstração:






Sendo o ponto M o vetor (a,b,c)

Logo, o segmento AM equivale a metade do AB, pois essa é a definição do ponto médio, ou mediana, entre dois pontos. Então:

Partindo para a Geometria Analítica temos, a seguinte expressão vetorial:




Logo:

Integral Dupla Cabulosa

Uma integral complicada de se calcular... Uma integral dupla, contudo, o problema em si, é encontrar a primitiva destacada. Tentei várias e várias coisas, mas não tive exito em encontrar a primitiva. O único modo que consegui, foi usar a própria "arcsenhx", pois sua derivada é 1/sqrt(1+x²).

Mas depois me complicava todo para fazer a outra integral. Tentei muitas coisas. Apesar de estar meio travado em integral, não estou tão hábil quanto quando aprendi técnicas de integração no Cálculo 2. Tentei subistuir por várias coisas, até tentei usar uns arcos, u=tg(x/2). Bem, foram. E no fim, o melhor que pude fazer, fora limitando o resultado. Retirei o 1 de dentro da raíz, e usei um polinômio de Taylor para dar uma margem de aproximação do resultado.

A questão mesmo era:

a) Calcule f(a)

b) Calcule f'(a)

Essa questão caiu na prova, ontem, de Cálculo para funções de várias variáveis II (equivale ao Cálculo 4), no IME-USP. Detalhe, era uma prova com consulta. Mesmo com o livro do Stewart v.2 (acho que precisava do 1 nessa hora rs), o caderno etc. Não ajudou em NADA! A integral estava bem resistente de ser resolvida.

Aquele que tiver alguma sugestão, ou solução, para resolvê-la, por favor, expresse-se. Fiquei intrigado. Estou curioso para resolvê-la. Ah sim!, para encontrar a primitiva, não pode esquecer do intervalo, pois é a integral de [y,a].

Ensino da Matemática - Experiências

O trabalho prático, no qual se está executando a tarefa e sobretudo de modo investigativo, buscando encontrar respostas, certamente é um dos métodos mais didáticos para o auto-aprendizado e para o desenvolvimento do músculo.

Imagina a cena em que um homem iletrado adquire o trabalho de construir uma pequena torre usando apenas bambu e sisal (uma pioneiria interessante, certamente) e então ele inicia o seu trabalho. Certamente a primeira vez será incrível em níveis de tentativas e erros, análises. Coloca uma coisa ali e vê se dá certo ou não, ou o que acontece. E com o tempo todas aquelas informações são registradas na memória, um senso crítico se desenvolve sobre a questão. E certamente, depois de muitas tentativas ele consegue fazer uma pequena torre simples.

Bem, então é dado uma segunda construção para ele fazer. Uma torre de bambu, mas que deve conter pelo menos 5m de altura e em seu topo uma plataforma que consiga sustentar o peso de duas pessoas. Então dessa vez será um quebra-cabeça para o construtor. Talvez uma altura maior que a anterior, e nisso perceberá que as suas amarras não eram firmes o suficientes e nisso ele pode buscar tentar desenvolver uma modo mais firme de fazer as amarras, ou então ir “buscar” o conhecimento que já existe sobre amarras, e então pode adquiri-lo, treiná-lo e apreender através da prática. Também desenvolverá modos para subir na torre. E certamente fará testes e buscará modos para se construir tal plataforma que atenda as condições.

Após esse trabalho recebe mais uma: Uma torre de 7m com uma polia que suporta até 100 kg de carga e além disso, fazer um “projeto”, isso é: estimar a quantidade de bambus que será usado, quantidade de cordas, material, a forma da torre e o tempo. Isso certamente é muito mais difícil, algo inteiramente inédito. Para começar iria buscar entender o que é uma polia, como funciona, as regras funcionais, e construiria um modelo em tamanho real ou escalar numa pequena altura para testar. Certamente iria tentar fazer algo em escala, desenhar algo, buscar “precisões”; moldes, desenhos; nisso, iria acabar desenvolvendo um pouco de matemática ou apreendo-a, principalmente uma regra de três, multiplicações, divisões; contudo, difícil imaginar que iria pensar em Geometria Analítica, vetores, tensão, integrais de linhas, derivadas parciais, momento angular, centro de massa. Mas com muito esforço iria conseguir fazer um modelo e construir.

Bem, precisamos usar tal método para aprender muitas coisas. Em especial para com a matemática. Infelizmente, em geral, hoje o sistema se prende ao teórico, as regras de sintaxe, gramaticais, algorítmicas; mas não buscando levar e mesclar tal com o desenvolvimento prático e intelectual, em nível de produzir um senso crítico, analítico, dedutivo e lógico. Os músculos responsáveis pelo exercício da matemática ficam atrofiados, não se desenvolvem. E claro, que uma pessoa que nunca fez flexão na vida, aos 16 anos não irá achar nada divertido fazer 30 flexões.

Uma sugestão que dou aos pais, educadores, professores e para a mente pensante em geral, aquele que busca desenvolver a matemática. É brincar de “construir torres” com a matemática visando trabalhar com os músculos do raciocínio dedutivo e lógico. E consequentemente, com isso, desenvolver também a parte gramatical, algorítmica e sintática da linguagem matemática.
Exercícios de lógica é uma boa. Xadrez não, pois é algo avançado, e a pessoa teria que estudar bem a coisa, para não apenas jogar, mas jogar de forma estratégica. Sodoku, puzzles entre tantos outros. Mandar projetar e construir algo simples e depois coisas mais sofisticadas. Que tal projetar uma mesa para o seu quarto? Buscar medir a quatidade usada de água num minuto no banho, de modo a formar uma tabela indicando o tempo de uso e a quantidade. Construir uma balança para medir coisas até 10kg, com precisão de 50g. Basta começar imaginar situações no dia-dia que ao invés de “sedentarizar” a coisa, poderia usá-la para o aprendizado e desenvolvimento físico e mental do individuo.

E aqui vão algumas sugestões em vários níveis de coisas interessantes e algo para desenvolver esse raciocínio, em que uma pessoa de nível de segundo grau certamente teria capacidade para conseguir alcançar tais objetivos.

1. Montar uma função data, f(x), em que x = número de dias. De modo que por resultado se saiba o ano, mês, dia do mês, e dia da semana, de forma precisa. Por exemplo: Hoje é dia 28, quinta-feira, de agosto de 2008, daqui 265 dias quando seria?
2. Pegar o algoritmo da multiplicação e da divisão e desenvolvê-lo. Como se chega em tal? Por que funciona?
3. Medir o tamanho das árvores e postes na sua rua, sem subir nelas.
4. Descobrir as velocidades confortáveis e máximas para cada marcha numa bicicleta.
5. Qual a probabilidade da Mega-sena e fazer comparações de modo a equivaler vários tipos de jogadas e combinações com dados.
6. Descobrir o que é mais pesado entre terra, areia, cimento, barro, e vários farelos; quantificar a densidades de tais na água.
7. Descobrir qual é as medidas e razões que há entre os intervalos das notas no braço do violão.
8. Contar o número de passageiros num ônibus ou vão, marcar os pontos de saída de tais. E depois buscar quantificar a distância que tal transporte poupou para eles, e num geral, e de tempo, fazer médias, com número de pessoas e de ônibus semelhantes. E nisso buscar compreender um pouco de senso da logística de transporte.
9. (para alguém que não aprendeu Progressão Aritmética) Dar-lhe a tarefa de contar uma soma de [1, 1000]. Do tipo: “1 + 2 +3 +4 + 5 + ... + 1000 = ?” E desafiá-lo a tentar encontrar um padrão nessa soma e assim desenvolver uma forma de encontrar esse resultado com poucas contas.
10. Tomar por base o tamanho de alguns tijolos e estipular a quantidade que deve ter sido usado para construir as paredes da sua casa.
11. Construir uma pequena catapulta balística de modo a conseguir lançar fubécas e pequenos objetos. Buscar tentar quantificar esses lançamentos, e entender a mecânica da coisa. E depois tentar construir um outro aprimorado na mesma escala, mas conseguindo lançar o objeto mais longe. E colocar marcadores de modo que consiga prever onde que é o objeto cairá.
12. Formular uma equação para descobrir o número de triângulos contidos num triângulo maior, em função do número de triângulos na base, de modo que todos sejam eqüiláteros. (ver a figura tema) E buscar variações, como quantos de ponta para cima, de ponta para baixo? Quantos conteria em cada andar? Qual seria o perímetro total para todos os triângulos de lado 1? Etc. (esse é muito bom)
13. Pegar gravetos de vários espécimes de árvores e tentar quantificar (talvez com indicadores e escalas próprias) o índice de resistência de cada um para peso, envergadura, torção, corte; qual o seu peso, flutuabilidade, durabilidade até começar a apodrecer...
14. Construir um relógio solar. Um relógio do tipo ampulheta. E escalar as horas, ou minutos, segundos.
15. Tentar encontrar algum padrão entre os números primos de forma a poder prevê-los. (esse é um dos grandes problemas da matemática, e certamente, se você conseguir, receberá milhões ($) ).
16. Descobrir a matemática nas notas musicais e escalas, como funciona um afinador. E desenvolver um instrumento com todas as notas, afinadas, pelo menos uma oitava. Sugestão: copos com água, barras de metal (tipo um xilofone).
17. Encontrar uma forma, visando a logística, para organizar os móveis da casa, de modo a possuir maior espaço útil, praticidade e vizualização.
18. Buscar construir formas variadas de um castelo de cartas de baralho e classificar a resistência de cada um, quanto a suportar peso, vento e vibração.

Também pode-se aproveitar algumas aptidões já desenvolvidas e buscar nelas dados e informações lógicos, que até mesmo pode ajudá-la. Por exemplo:

1. Numa cobrança de penalty num futebol de salão ou campo, medir quais os locais em que o goleiro teria mais dificuldade para pegar a bola numa velocidade x, e quanto tempo ele levaria para conseguir chegar em tal ponto para realizar uma defesa; então se fosse cobrar em tal lugar, qual deveria ser a velocidade do chute, para ser indefensável?
2. Numa partida de cinuca, qual as direções que as bolas tomam quando são acertadas em determinadas regiões, ângulos e trajetórias? Como se comporta a trajetória da bola quando se faz tabelas com a borda da mesa? De modo a ficar previsível os lances.
3. Qual a melhor forma de se chutar visando adquirir maior velocidade na bola. (Buscando quantificar as diferenças).
4. Num jogo de truco, para 2, 4 ou 6 pessoas. Qual a probabilidade de você vencer, de alguém ter uma carta melhor, um 3, ou 2, ou uma manilha. Na primeira rodada, segunda e terceira. (há livros que já possuem tais informações, mas o importante é a pessoa desenvolver e construir esses valores)
5. Fazer relações quantificando o nível de esforço, e marchas e velocidades confortáveis para se pedalar em regiões de diversas inclinações. E buscar fazer uma trajetória, e planejá-lo, de modo a se chegar no final com o melhor tempo e mínimo cansado possível.
6. Identificar quais são os locais – pelo menos no chão – mais propensos a se quebrar, desgastar. Onde há maior trafego de pessoas, pesos, objetos pesados, arrastados. Quantificar isso. E buscar medidas, mudanças, para evitar tais desgastes, buscando moderar e suavizar todo o sistema.
7. Desenhar estruturas, objetos tridimensionais no papel. Buscando preservar a perspectiva, projeção, simetria, proporção e medidas. (buscar objetos cada vez mais complexos).

Os professores de matemática podem desenvolver outros modelos e usá-los como trabalhos especiais, em grupo e individuais. De modo a desenvolver tais áreas. E uma melhores coisas do trabalho prático, dessas experiências. É que o trabalho o ocupa, faz a mente trabalhar, gostar da coisa, e no final, quando é concluído há a “realização”, a conclusão. E não meramente a nota de uma prova teórica dos conteúdos teóricos gramaticais e sintáticos expostos em sala de aula ou no livro didático.

Em geral, muitos professores olham as notas dos alunos, fazendo médias do tipo: “sou um bom professor, alguns ou vários alunos tiveram um bom desempenho na prova”. Ou mesmo outorgando ao aluno como a total responsabilidade: “Esse aluno tem dificuldade, não consegue aprender.” Quando na verdade, deveriam ver como cada nota de cada aluno, como sendo a nota, a avaliação para com o professor. Mostrando a capacidade de tal em ter ensinado o aluno, ou mesmo de motivá-los. E uma das coisas tristes é essa forma de avaliação usada hoje, que é “fácil” – escolho alguns exercícios, imprimo, tiro xérox e cada e vamos medir o desempenho de cada um – para o professor. Mas até aonde isso avalia? Serve para todos os casos, todos os alunos? Não é um modelo construtivo.

Usando de experiências bem elaboradas, planejadas e orientadas. O aluno é grandemente motivado; e desenvolverá muito além do que uma típica “aula” de hoje: com a lousa, o giz, os números, os títulos, as fórmulas, os exemplos, as lições de casas e provas. E por fim, será muito mais claro de se avaliar o grau de desenvolvimento do aluno, e até mesmo identificar as debilidades.

Sempre uso exercícios de lógica e de dedução com os alunos particulares. E sempre tento avaliar de inicio as áreas de debilidade dele. E por incrível que pareça, a menor parte é quanto a matemática formal, as regras gramaticais, sintáticas e fórmulas. Mas na maioria das vezes, mesmo quando há debilidades dessas, a causa é: atrofia dos músculos do/a: raciocínio, lógica, dedução, criatividade, abstração, motivação, construção do pensamento, critica, observação e análise, concentração e intuição.

E boa parte dessas deficiências não se trabalhar com exercícios de regra de três com o exemplo do Zecá que foi comprar pão na padaria. Ou com aqueles vários: “Agora calcule...; simplifique”. Muito menos que são poucos os alunos que conseguem interagir com esse tipo de exercício.
Sinceramente, apenas tive um único aluno, que tinha todas essas áreas desenvolvidas, mas que a debilidade estava quando a linguagem matemática, a escrita, a gramática, sintaxe. É aquela coisa, ele entende bem, consegue desenvolver e racionar mentalmente, perfeito, mas o problema está na hora de passar pro papel de modo que o professor verifique se ele acertou, se escreveu bonito. E quando era apenas esse o problema, foi fácil de se resolver; com 1 mês de aula, duas por semanas, apenas explicando e treinando a matemática formal; e ele pegou e ficou bom na coisa.

É aquela coisa, o menino não tem vontade de comer. Aí os pais dão vários remédios, tônico, e a criança continua não comendo. Se virão para fazer comidas atrativas e deliciosas, mas o menino não come. E começa a julgar a criança, falar até mesmo mal de tal, como qualificando que a nota dele está “vermelha”. E enquanto isso ela vai gostar de comer? Não. Até que resolvem levar no especialista, e é feito um diagnóstica e percebe que tal está com alguma doença, ou falta de algum nutriente especifico, ou uma infecção; aí trata-se daquilo. E logo a criança passa a comer normalmente e a gostar de comida. E então a pergunta vem: “Por que em geral as pessoas não gostam (não querem) comer matemática?”


Contudo, o paradigma continua: “Por que o professor terá tanto trabalho assim, se o que o MEC exige é apenas o conteúdo; e em troca são mal recompensados com salários baixíssimos para uma atividade tão digna, senão a mais digna de todas.”

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Recomendo o livro:

"Experiências Matemáticas" de Vinício de Macedo Santos

(Um dos meus professores da Faculdade de Educação - USP)

O Número 1089

Você já deve ter feito ou passado por aquelas pegadinhas com números. Bem, essa é mais uma e muito interessante. É assim: Escolha um número de 3 dígitos diferentes (ex. 541), depois inverta a ordem dos números (145), subtrao-o com o anterior em módulo (396), então inverta a ordem desse número (693) e some com o número anterior (693 + 396), o resultado será 1089.

Um outro exemplo:
Escolha: 102
Inverso: 201
Subtração em módulo: 099
Inverso: 990
Soma: 1089

....
Bem, a pergunta que não quer se calar: Por quê?
....

Vamos análisar isso.

TESE
Seja X um número de 3 dígitos (ABC), tal que A = 100u1, B = 10u2, C = u3, onde u = (u1, u2, u3) e A ≠ B ≠ C. E w = {w1, w2, w3}, tal que w, u = [0, 9] ∈ N. Então:

|ABC - CBA| = DEF
e
|DEF + FED| = 1049

ou

|X - X'| = Y
e
Y + Y' = 1049

para X = ABC, X' = CBA, Y = DEF e Y' = FED


PROVA
X = ABC = 100u1 + 10u2 + u3
X' = CBA = 100u3 + 10u2 + u1

|X - X'| = |99 u3 - 99 u1| = 99.|u3 - u1| = Y

|u3 - u1| = k (k ∈ N)

Como {u3, u1} = [0, 9] e u3 ≠ u2. Então, k = [1, 9]

Portando, os possíveis valores de Y são:
Y = {099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891}

Como Y = DEF, logo se percebe que Y = D9F

Y = 100w1 + 10w2 + w3 = 100w1 + 10.9 + w3
Y = 100w1 + w3 + 90

Note que w1 + w3 = 9 (I)

Então, Y' = 100w3 + 90 + w1 = FED = F9D

Y + Y' = 100w3 + w3 + 2.90 +100w1 + w1
= 101w3 + 180 + 101 w1
= 101(w3 + w1) + 180
= 101.(9) + 180 usando (I)
= 101.9 + 180
= 909 + 180
= 1089

Portanto, Y + Y' = 1089 c.q.d.

Questão de Lógica: O Maquinista

No site:

http://www.ime.usp.br/~nelio/ensino/2004-1/ed/lista/msg00122.html há alguns exercícios bem interessantes de lógica. Um deles em especial resolverei, pois ele exige algo além do comum.

PLR 5. O Maquinista

Enunciado:

Num certo comboio, os empregados eram três pessoas: o guarda-freio, o foguista e o maquinista. Os seus nomes, por ordem alfabética, eram Jones, Robinson e Smith. No comboio havia, também, três passageiros com os mesmos nomes: Sr. Jones, Sr. Robinson e Sr. Smith. São conhecidos os seguintes factos:

· O Sr. Robinson vive em Detroit.

· O guarda-freio vive a meio caminho entre Detroit e Chicago.

· O Sr. Jones ganha, exactamente, $ 20.000 dólares por ano.

· Smith, em certa ocasião, derrotou o foguista, jogando bilhar.

· Um vizinho do guarda-freio, que vive numa casa ao lado da casa deste e é um dos três passageiros mencionados, ganha exactamente o triplo do que ganha o guarda-freio.

· O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda-freio.

Pergunta-se: Qual é o nome do maquinista?

Resolução:

Bem, primeiro, vamos organizar as informações.

Profissão {

Guarda-freio - GF

Foguista - F

Maquinista - M

}

Trabalhadores {

Jones - J1

Robinson - R1

Smith - S1

}

Passageiros {

Sr. Jones - J2

Sr. Robinson - R2

Smith - S2

}

Lugares {

Detroid - D

Chicago - C

Meio-caminho - MC

}

Agora, vamos análisar as informações.

1. R2 vive em D.

Logo, {J2, S2} não vivem em D.

2. GF vive em MC.

3. J2 ganha $ 20.000 U$/ano.

Certamente, essa é a grande informação "chave" do problema. Pois aparamente parece ser um absurdo. Pensemos nela depois.

4. S1 derrotou o F.

Logo, S1 não é F. Então, F = {J1 ou R1}

5. Um vizinho do GF, que vive numa casa ao lado da casa deste e é um dos PASSAGEIROS mencionados, ganha exactamente o triplo do que ganha o guarda-freio.

Bem, informação totalmente crucial. O vizinho do GF é um dos passageiros, ou seja, vivem no mesmo lugar. E segundo, também há uma informação referente ao "ganho em dinheiro", uma informação que faz alguma ligação com a terceira informação.

6. O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda-freio.

Então,

se GF = J1 ⇔J2 = C

se GF = R1 ⇔R2 = C

se GF = S1 ⇔S2 = C

Com isso, vamos redesenhar as informações.

Profissão {
GF = (MC)
F = (J1 ou R1)
M
}

Trabalhadores {
J1 = (F)
R1 = (F)
S1 ≠ (F)
}

Passageiros {
J2 = (C ou MC)
R2 = (D)
S2 = (C ou MC)
}

Lugares {
D = (R2)
C = (J2 ou S2)(mesmo nome do GF)
MC = (J2 ou S2)(GF)
}

A QUESTÃO CHAVE

Bem, como se percebe, apenas por isso não há como encontrar uma resposta. Mas a chave da questão está em descobrir sobre os passageiros, pois descobrindo tais e os locais onde moram, saberemos quem é o GF e naturalmente as peças se encaixarão. Mas para isso está na hora de usarmos a informação sobre o dinheiro $$$.

- J2 ganha $ 20.000 U$/ano.

- Passageiro que mora em MC, vizinho de GF, ganha 3x o que ganha GF.

Bem, vamos calcular. Quanto J2 ganha em média por mês?

20.000 : 12 = 1666,66 U$/mês

Um salário razoável. Mas agora, compare com a outra informação. O vizinho de GF é J2 ou S2. Sabemos quanto ganha J2, mas S2 não. Então, supondo que seja J2, quanto ganha GF?

J2 = 3GF

GF = J2/3

GF = 1666,66 : 3 = 555,55 U$/mês

Aqui está a grande pegadinha do exercício, a qual surpreende o comum. Temos que pensar além dos dados e informações do exercício e pensar numa lógica prática comum na realidade.

Bem, o trabalho se encontra nos Estados Unidos.

E quanto se ganha em média nos EUA?

Até 2007 o salário minimo era de 5,17 $/hora, que passou para 7,25.

Supondo que GF trabalhe 4 horas por dia, são 20 horas por semana, que são 80 horas por mês, que são 960 horas por ano, em média. Então, ele deveria receber algo, no minimo em torno de 4900 dólares.

Ou seja, ganhar 550 dólares por mês é muito pouco, não só para os padrões dos EUA, mas também para a profissão em si. Se fosse um estagiário, aprendiz, alguem que entrega jornais nas horas vagas do ginásio, algo do tipo, até é aceitável. Mas para quem cuida dos freios de uma empresa ferroviaria é um absurdo afirmar isso.

Portanto, tendo isto por base, o vizinho de GF não pode ser o J2. Logo, o vizinho é S2.

Consequentemente, J2 vive em Chicago. Então, GF = J1. Então, F = R1, por fim, M = S1.

Resposta: O maquinista se chama Smith.

A História do Número 1 (Um)

Simplesmente, o melhor documentário sobre a História da Matemática que já assisti, exibido pelo The History Channel. É um vídeo muito gostoso de se ver, muito claro, simples, animado, didático... feito especialmente para que os mais leigos entendam e gostem.

Assista a primeira parte (10min) e não se arrependerá. E provavelmente assistirá todo o restante.


Parte 1 = 001

Gostou? Assista o restante do documentário, nos seguines links:
Parte 2 = 010
Parte 3 = 011
Parte 4 = 100
Parte 5 = 101
Parte 6 = 110

2 + 2 = 5

Veja só que interessante, uma demonstração simples de como posso fazer você enolouquecer com matemática hehe. Já ouviu ou falou aquelas coisas do tipo: "1 + 1 = 2", "2 + 2 = 4", e que isso era algo óbvio? Bem, venho te provar que não é tão óbvio assim não.

Vou te mostras, como posso converter o paradgima "2 + 2 = 4" em "2 + 2 = 5", e que irá quebrar seus neuronios e conceitos.

Vamos começar por uma unidade, o conceito mais simples de matemática:

1 = 1

-20 = -20 (preservando a unidade de igualdade)

então, agora é só você seguir a algebra:

-20 = - 20
16 - 36 = 25 - 45
4² - 2.4.9/2 = 5² - 2.5.9/2

repare que: 2.4.9/2 = 36 e 2.5.9/2 = 45

Agora vou acrescentar um valor, seguindo a propriedade:
a + c = a + c
no caso: c = (9/2)²

4² - 2.4.9/2 + (9/2)² = 5² - 2.5.9/2 + (9/2)²

perceba agora, que eu tenho o caso de:
(a - b)² = a² - 2ab + b²

então, posso dizer que:

(4 - (9/2))² = (5 - (9/2))²

então, tiro a raíz quadrada dos dois lados e sobra:

4 - 9/2 = 5 - 9/2
4 = 5 - 9/2 + 9/2
4 = 5 - 0
4 = 5

Contudo, como 4 = 2 + 2, posso considerar que:

2 + 2 = 5


uhuu...
Viu só como é fácil cafundir o raciocinio do pessoal que não manja dos conceitos de álgebra? É claro que isso é um absurdo. Contudo lhe desafio a encontrar o erro.

Dimensões - O que são?

Você já deve ter ouvido muitas pessoas falar sobre "dimensões" e até mesmo coisas ficciosas e mal entendidas sobre tais como "outra dimensão", "dimensão paralela", "Quarta Dimensão". Bem, mas o que são elas? O que é uma dimensão? Esse simples estudo, dará uma introdução ao campo das funções de várias variáveis, as dimensões.

O que é dimensão?

Dimensão é uma terminologia usada para indicar um "grau" de uma função e seu gráfico. A princípio, o minimo de dimensão que pode existir é 1, e o máximo é infinito. Portanto: nº de dimensões ∈ [1, ∞[. De modo que se relaciona ao número componentes (variáveis) necessários para tal.

1D - Uma Dimensão

Axiomáticamente dizendo, 1 dimensão, apenas existe numa idéia de limit, quando uma função não possui uma "altura de imagem". É dificil entender esse conceito, mas imagine o caso de uma reta, no qual ela é o próprio eixo, ou um ponto; mas que não possui altura, não possui imagem. E a idéia linear da coisa.

Há muitas aplicações que se envolvem essa idéia "linear" de uma dimensão. Como na física, quando se fala sobre dilatação de sólidos. Há o caso linear (1d), superficial (2d) e espacial (3d); correspondendo a se expandir linearmente, em área e em volume, respectivamente.

Mas fazer o gráfico de algo em 1D não é possível, apenas se faz um esboço para ilustrar, como uma linha, ou o eixo x, sem fazer o eixo y. Como função, não é possível fazer - desenhar seu gráfico - pois por definição uma função tem um dominio e uma imagem (duas dimensões).

2D - Duas Dimensões

Sem dúvidas, essa é a dimensão mais conhecida. Pois tudo o que vemos é em 2D, nossos olhos captam as imagens em 2D. 2D já pode-se dizer como um sistema de coordenadas, duas referências entre dois angulos, dois pontos. Na matemática, como padrão de linguagem, definimos usualmente como o "eixo x" e o "eixo y". Sendo x o dominio e y a imagem desse dominio, ou seja, o resultado da função em x.

Quando tiramos uma foto, ela nos dá uma representação perfeita de algo em 2 dimensões. Em duas dimensões, podemos dizer que temos uma superficie, uma área; quanto as coisas práticas. Por exemplo, uma folha de papel (se não levarmos em conta sua espessura), ela tem uma largura e altura, duas dimensões, podemos medir sua área.

Já numa função, a grosso modo dizendo, podemos encontrar situações em que o gráfico da função não se tenha uma area e uma superficie. Mas a idéia é que com os dois eixos - x e y - podemos formar uma superficie.

Tudo o que vemos está em 2D. No monitor do seu computador, a imagem que você vê está em 2D. Até mesmo os recursos em três dimensões, como jogos, programos como AutoCAD, a imagem que ele te mostra é em 2D, o que aparece no monitor é 2D, pois assim são os monitores de hoje; apenas quando houver hologramas tais forneceram imagens em mais dimensões; mas de todo o jeito, tudo o que os nossos olhos veem é em 2D, na verdade, nossos olhos, funcionam como uma filmadora, uma máquina digital. Ele retirar várias fotos daquilo que vê só que tão rapidamente, que acaba funcionando como um filme, pois são muitos quadros em menos de um segundo.

Numa função, é fácil definir. Pois se trata de uma função simples, com apenas uma variável. A famosa f(x). Quando temos um dominio em R (conjunto dos nº reais), também expresso como em Rn, no caso, R1 (n = 1). Esse n, se refere ao número de variáveis.

Agora, entenda esse conceito simples, contudo bem abstrato:

"Uma função de uma variável, pode-se dizer que é uma função de uma dimensão, mas o seu gráfico - sua imagem - é de duas dimensões."

No caso, apenas há a variável x, portanto, uma só variável. Ou seja, n = 1. Ou seja, 1 dimensão.

Mas o seu gráfico já é outra história. Por exemplo, faça o gráfico de f(x) = squad(x² - 1) [squad, refere-se a "raíz quadrada do que está em parenteses"]. Você naturalmente obterá duas dimensões - x e y - sendo o x o dominio, e o y a imagem - f(x).

3D - Três Dimensões

Essa também é muito popular, virou até moda. "Placas Aceleradoras 3D", "Recursos Audiovisuais em 3D", "Programas em 3D".

O que acontece, mas que não pode acontecer, é as pessoas confundir a "ordem", ou melhor, A NATUREZA da função ou dimensão referida.

Vimos que em 2D, temos dois eixos referência para algo, podendo formar uma superficie, uma área. O que acontece em 3D, é que adicionamos um outro eixo, na matemática, como padrão, chamamos de "eixo z". Assim dando uma nova dimensão a coisa, formando o que chamamos de "espaço".

Na realidade, tudo o que há, que existe - tirando a energia - está em 3D, tem três dimensões espaciais. O computador está em 3D, o sofá é um objeto em 3D. É a diferença entre o que sai na foto e o que na realidade é. Contudo, vale a pena lembrar, que vemos tudo em 2D. Aquilo que é em 3D, nossos olhos tiram uma foto daquilo, de modo que fique em 2D.

Numa função, quando o gráfico está em 3D, a função na verdade é em 2D, ou seja, tem 2 variáveis. Ou seja, representamos por: f(x, y). E o seu dominio, representamos por R2 (n = 2). Há duas variáveis, portanto duas dimensões. Mas o GRÁFICO, a IMAGEM, é em 3D.

É fácil perceber que todas as coisas estão em 3 dimensões espaciais, mas que apenas observamos tudo em 2D. Tanto é que podemos fazer quadros, tirar fotos, desenhar, de modo que represente exatemente o que vemos, isso numa superficie de papel (em 2D).

Contudo, foi um grande avanço na ciência, quando os matemáticos conseguiram formalizar, estruturar suscintamente a terceira dimensão. Pois isso pode ser usado na Computação. Passaram a existir Placas de Vídeo 3D, modeladores 3D. Isso facilitou muito muitas coisas, e possibilitou ao homem fazer muitas coisas com fins vizuais.

Com apenas o 2D, os programadores e designers, apenas podiam trabalhar com a idéia de "foto". Ou seja, tinham que fazer tudo em perspectiva, para representar o 3D em 2D (uma foto). Num jogo por exemplo, ele tinha que fazer várias fotos - imagens - de algo, como tal seria por vários angulos; e ajuntar tudo, para que depois, dessa a impressão de que aquilo era uma foto de algo em 3D. Isso certamente dava um trabalhão. Os jogos mais antigos, se podia ver, uma bidimensionalidade muito forte, muitas vezes, só podendo ver os personagens por um angulo, quando ele estivessem de lado, ou de frente, ou por cima, e muitas vezes se parecia algo bem estátivo. Já se o programador fosse fazer algo mais realista, os gráficos ficariam melhor, contudo o jogo ficaria mais "pesado", consumia mais memória, e certamente dava muito mais trabalho para fazer.

Então os matemáticos conseguiram formular o 3D, logo os programadores e engenheiros passaram isso para algoritmos de modo que desenvolveram "Modeladores 3D". Os computadores passaram a saber que a terceira dimensão existe. Permitindo que os programadores e designers, não precisassem mais trabalhar como se tudo fosse uma foto; mas modelando a coisa em 3D. Como se estivessem fazendo uma escultura com as próprias mãos na realidade; só que isso seria dentro do virtual. Então, não se criava mais "fotos", "imagens" dos objetos em perspectiva para representar o 3D em 2D. Mas sim se criava o "objeto", em 3D. E então, o software permite você navegar naquele "mundo, espaço virtual" como se fossem seus olhos. E nisso entram as "Placas 3D", que é quem dá essa capacidade de processamento de objetos em 3D.

Hoje os jogos de computadores, são feitos com muito mais facilidade e exito. Tanto é que a maior preocupação hoje é se preender aos "detalhes gráficos" para ficar o mais realista possível; e também aos detalhes "físico". Pois, ele faz o objeto dos personagens, o objeto das armas, dos cenários... e manda o software rodar. Ou seja, é como se você pegasse alguns bonecos e começasse a brincar no seu quintal. Não precisa ficar desenhando e tirando fotos por vários angulos. Apenas se programa o quintal, faz os bonecos, e então brique com eles. Isso até mesmo permitil a industria cinematográfica fazer filmes 100% em imagem realista num ambiente totalmente virtual.

Mas lembre, o programa é em 3D, mas você vê em 2D.

4D - Quarta dimensões e as outras

Pode algo ter mais de 3 dimensões? Claro que pode. Pode perfeitamente. Principalmente, quando se trata de função.

Como já disse, uma função pode ter infinitas variáveis. Uma função de 2 dimensões, como já vimos é f(x, y), no qual o gráfico está em 3D. Já uma função de 3D é f(x, y, z), o gráfico - teóricamente - estaria em 4D. E assim por diante, uma função pode ter, infinitas dimensões: f(x, y, z, ...).

Aqui mora um problema super grave. Pois entramos num campo, meio que da "fé" se assim podemos dizer. Pois é o campo daquilo que "o olho não vê". É um dos maiores exitos da Matemática. Pois permite ao homem estudar coisas e conceitos, que não podemos ver, mas que existem. Já lhe digo algo que você não pode confundir: "ESPAÇO É ESPAÇO, e APENAS 3 DIMENSÕES o formam".

Posso até colocar mais variáveis, outros eixos no espaço. Mas tais, acabam sendo apenas de suporte. Mas todas estão contidas no espaço formado pelos eixos x, y e z. Por exemplo. Posso fazer um programa de computador, no qual modela uma pessoa em 3D. E então, coloco uma dimensão, ou um eixo, uma função, para o braço, outra para a perna, outra para a face, outra para o ombro etc. São várias dimensões e variáveis. Contudo, espacialmente, todas elas estão dentro do Espaço, dos eixos x, y e z.

Espacialmente falando, naquilo que podemos ver, desenhar... Apenas o podemos, em perspectiva de 3 eixos. Três dimensões. Isso deve ficar BEM CLARO, nessa natureza da Dimensão. Não tem como você observar uma bola de futebol em 4 dimensões espaciais; aliás, para começar, apenas vemos em 2D. Nem muito menos ir para um lugar, onde o espaço não apenas tem 3D mas mais.

ESPAÇO é o nome atribuido para algo em 3D. O sistema de coordenadas (x, y, z). E ponto. Não vai confundir com ficções ficciosas.

O ENIGMA

O que na verdade acontece, é que como disse, uma função pode ter infinitas dimensões. Ou seja, ter milhões de variáveis se quiser. Se você for cursar Cálculo, perceberá que trabalhar com 3 variáveis já é complicado. E mais. Essa função, pode ser composta, de modo que tais variáveis possam ser outras funções, e até mesmo funções de várias variáveis; portanto, pode haver 10mil dimensões, dentro de uma função de 3 dimensões.

Por exemplo, o Eistein, descreveu a Teoria da Relatividade, a grosso modo, uma função, com 3 dimensões: (x, y, z). Só que sendo tais: (tempo, espaço, matéria); que tem por fim ou natureza, descrever a energia, tragetória e posição. Podemos fazer uma função financeira, para o preço de um produto que também leve em conta várias variáveis Preço(mão-de-obra, transporte, seguradora, taxas, tributos, lucro, limpeza, manutenção), ou seja, uma f(x, y, z, w, u, v, s, t), portanto, 8 variáveis... para no fim chegar no "preço do produto", de modo que tal leve em conta todas essas variáveis.

Na física, engenharia, que buscam descrever e manipular os diversos mecanismos fisicos que há no Univeso; muitas vezes precisam usar funções com várias variáveis. Só que acontece, que como já disse, trabalhar com uma função de 3 variáveis (3-dimensões) ja é muito dificil e trabalhoso. Então, muitas vezes, preferem, decompor essas ENORMES funções, em outras pequenas e mais fáceis de trabalhar. Por exemplo, imagine um carro. Quantas coisas estão variando, que está influenciando nele? Há o vento, a temperatura, a gravidade, o atrito com o asfalto, o peso, a potencia do motor, o consumo de energia... São um monte de variáveis. Trabalhar com todas elas numa só função é loucura! Portanto, é mais fácil, "uma função para isso outra para aquilo..." e de algum modo, no final, uma outra, ou uma lógica, que viza ajuntar o resultado de todas.

Um engenheiro para construir um prédio então. Quantas variáveis que ele não tem que pensar? Como a resistencia do material, o peso, a elasticidade, o vento, vibrações, impactos, durabilidade. Portanto, há muita utilidade funções de variáveis variáveis. Na verdade, o que muito acontece, é os programadores e matemáticos desenvolverem softwares os quais ajudem a trabalhar com essas funções tão grandes e complicadas; hoje, não só há programas que modelam objetos em 3D, como fazem "simulações físicas" com tais. Existem até mesmo Scanners 3D. Focê scannea o seu mouse, e no programa você já tem o seu mouse como objeto em 3D, sem ter que ficar desenhando.

Por exemplo, veja essa noticia da BBC: "Matemáticos decifram enigma de 248 dimensões".

Portanto, quando você ouvir coisas do tipo "Outra dimensão", "dimensão paralela"... e coisas que parecem mais ficção. Cuidado para não confudir as coisas. Nem sempre estão falando dessa natureza quanto "a forma, ao que podemos ver, o espaço"; pois esse é o conceito que se popularizou de dimensão, devido aos softwares em 3D. Certamente, pode estar tratando de outras dimenões, outros tipos, que não seja o espaço, o sistema básico dos eixos x, y e z, ou uma representação gráfica.

Por exemplo, algo interessante, é que há muitos cientistas, inclusive Eistein, acreditam que podem fazer uma única equação que retrate simplesmente TUDO do Universo; o que ele chamava de "A Equação da Vida", há até documentários sobre isso, se não me engano um no The History Channel "A Sinfonia Inacabada". A qual pode descrever tudo sobre a vida, sobre os fenomenos astronomicos, fisicos e em nível atomico; tudo numa única fórmula, equação. E até mesmo, é possivel, simplificar tal, numa "única variável". Pois é possível isolar variáveis, por mais que muitas vezes seja complicado.

Também, pode-se dizer, que o Universo em que vivemos e que dizemos conhecer, são regidos por várias dimensões (variáveis), como a Força Eletromagnética, a Gravitacional, x, y... Há teorias que apontam que existem "multi-universos", existem outros universos. Os quais podem ter outras dimensões (variáveis), possivelmente diferente das que mal conhecemos; isso quer dizer, "outras leis físicas".

Portanto, quando você ouvir alguem falar ou noticias sobre "dimensões"; antes de ficar imaginando coisas malucas e ficciosas. Lembre-se: "Depende". - Depende do quê? - Depende do referencial. Pois já até ouvir pessoas falando que "descobriram a quarta dimensão do espaço". O que para começar é uma incoerência, pois Espaço significa as 3 dimensões espaciais, o sistema de coordenadas (x, y, z).

Como pode ver, esse estudo nem vem mostrar uma dimensão, ou trabalhar com dimensão. Mas apenas trazer a idéia do que é dimensão e espaço. Quem sabe outro dia, trabalharei com funções de 2 ou mais variáveis.

Recomendo:

http://cuca.mat.puc-rio.br/~tomlew/tomlew_br.php

http://www2.brazcubas.br/professores1/arquivos/14_luizhenu/MatemaC/Notas-Aulas02-Canesin.pdf